Studio di un insieme: aperto, chiuso, connesso....
Ciao a tutti.
Ho questo insieme di cui devo dire se è aperto, chiuso, compatto, limitato, connesso, connesso per archi.
$A={(x,y) in R^2 : x^2+y^2<=1}\{(x,y) in R^2 : x=0, |y|<1}$.
I concetti di aperto, chiuso,connesso etc... sono rispetto alla topologia di $A$ considerato come sottoinsieme di $R^2$ e quindi rispetto alla topologia indotta giusto? Cioè, prima di dire se $A$ è aperto, devo definire gli aperti di $A$ come intersezione degli aperti di $R^2$ con $A$?
Perchè se dovessi ragionare con la topologia di $R^2$ mi verrebbe da dire che $A$ non può essere aperto perchè non coincide con il suo interno e non può essere chiuso perchè non coincide con la sua chiusura. Ma mi verrebbe anche da dire che è connesso per archi, in quanto se prendo due punti che stanno da parti opposte della circonferenza, posso sempre prendere una curva che li unisca, basta che questa passi per uno dei due punti $(0,1)$ o $(0,-1)$. Ma allora se è connesso per archi è connesso. Ma se è connesso allora deve essere chiuso-aperto, e ciò va contro quello che ho detto prima e cioè che $A$ non è né chiuso e né aperto. (???)
Se invece ragiono con la topologia indotta, $A$ è aperto in quanto se prendo un aperto molto grande di $R^2$ e lo interseco con $A$ ottengo $A$ stesso, che quindi per definizione di topologia indotta è aperto in sè stesso.
Non ci sto capendo più nulla
Ho questo insieme di cui devo dire se è aperto, chiuso, compatto, limitato, connesso, connesso per archi.
$A={(x,y) in R^2 : x^2+y^2<=1}\{(x,y) in R^2 : x=0, |y|<1}$.
I concetti di aperto, chiuso,connesso etc... sono rispetto alla topologia di $A$ considerato come sottoinsieme di $R^2$ e quindi rispetto alla topologia indotta giusto? Cioè, prima di dire se $A$ è aperto, devo definire gli aperti di $A$ come intersezione degli aperti di $R^2$ con $A$?
Perchè se dovessi ragionare con la topologia di $R^2$ mi verrebbe da dire che $A$ non può essere aperto perchè non coincide con il suo interno e non può essere chiuso perchè non coincide con la sua chiusura. Ma mi verrebbe anche da dire che è connesso per archi, in quanto se prendo due punti che stanno da parti opposte della circonferenza, posso sempre prendere una curva che li unisca, basta che questa passi per uno dei due punti $(0,1)$ o $(0,-1)$. Ma allora se è connesso per archi è connesso. Ma se è connesso allora deve essere chiuso-aperto, e ciò va contro quello che ho detto prima e cioè che $A$ non è né chiuso e né aperto. (???)
Se invece ragiono con la topologia indotta, $A$ è aperto in quanto se prendo un aperto molto grande di $R^2$ e lo interseco con $A$ ottengo $A$ stesso, che quindi per definizione di topologia indotta è aperto in sè stesso.
Non ci sto capendo più nulla
Risposte
Ogni insieme diventa aperto se ci metti sopra la topologia relativa: $A=A\cap \mathbb R^2$ e $\mathbb R^2$ è aperto. Dunque devi ragionare con la topologia di $\mathbb R^2$.
Ok. Infatti ci ho ragionato ma non capisco proprio. Se gli insiemi connessi sono anche chiusi-aperti, come fa quell'insieme ad essere connesso per archi?
E chi ha detto che i connessi sono per forza aperti o chiusi? Se disegni per bene $A$ comunque ti diventa facilissimo congetturare tutte le risposte.
Ok. Grazie mille
Ma c'è una differenza insiemistica tra i due insiemi che hai scritto? Se sì non vedo il simbolo \
"Luca.Lussardi":
Ma c'è una differenza insiemistica tra i due insiemi che hai scritto? Se sì non vedo il simbolo \
Hai ragione. Il segno \ l'ho messo, solo che l'interprete Latex non l'ha captato. Come posso farlo apparire?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo