Studio di successione
Buonasera, dovrei studiare la successione ${b_k}$ , il problema è che non ho ben capito che forma abbia dato che è definita a partire da un'altra successione ${a_k}$.
Mi spiego meglio:
sia ${a_k}$ definita da: $a_(2m)= (-1)^m * m^6 * e^(-6m)$ ; $a_(2m+1)=e^(6*a_(2m))$ , $AAm$ $in N$
allora ${b_k} := b_k=a_(3k)$, $AAk in N$ .
Significa forse che ${b_k}$ coincide con la definizione di ${a_k}$ in tutto e per tutto? Quel $3k$ non mi sembra limitativo!
Come si presenta quindi il termine generale di ${b_k}$ ?
Mi spiego meglio:
sia ${a_k}$ definita da: $a_(2m)= (-1)^m * m^6 * e^(-6m)$ ; $a_(2m+1)=e^(6*a_(2m))$ , $AAm$ $in N$
allora ${b_k} := b_k=a_(3k)$, $AAk in N$ .
Significa forse che ${b_k}$ coincide con la definizione di ${a_k}$ in tutto e per tutto? Quel $3k$ non mi sembra limitativo!
Come si presenta quindi il termine generale di ${b_k}$ ?
Risposte
${b_k}$ è un'estratta della ${a_k}$. Se esiste il limite della successione di partenza, allora esiste quello di ${b_k}$ e coincide con quello della successione di partenza.
Ho studiato meglio la richiesta, effettivamente non era così banale, scusami. Per risolvere il tutto comunque ti consiglio di studiare meglio la ${a_k}$. Dalle definizioni che hai dato sembra fatta così:
${a_k} = { ( (-1)^(k/2) * (k/2)^6 * e^(-6(k/2)) ),( e^(6*( (-1)^(k/2) * (k/2)^6 * e^(-6(k/2)) )) ) :} $ la prima riga per k pari, la seconda per k dispari.
Devi fare le opportune semplificazioni e calcolarti a quanto tende questa successione, dato che l'indice $3k$ assume sia valori pari che dispari non puoi ignorare nessuna tra le definizoni di sopra ( se fosse stato, per dire $2k$, allora potevi considerare anche solo il comportamento della estratta di indice pari ).
Insomma, per avere una soluzione elementare dovrebbe risultare che entrambe le successioni tendono ad uno stesso numero in $RR$ esteso, se è vero così, allora resta valido quello che ti ho scritto nel post precedente, ovvero il limite di quella particolare estratta tende allo stesso valore che ti sei trovato sopra ( per il teorema delle successioni estratte )
${a_k} = { ( (-1)^(k/2) * (k/2)^6 * e^(-6(k/2)) ),( e^(6*( (-1)^(k/2) * (k/2)^6 * e^(-6(k/2)) )) ) :} $ la prima riga per k pari, la seconda per k dispari.
Devi fare le opportune semplificazioni e calcolarti a quanto tende questa successione, dato che l'indice $3k$ assume sia valori pari che dispari non puoi ignorare nessuna tra le definizoni di sopra ( se fosse stato, per dire $2k$, allora potevi considerare anche solo il comportamento della estratta di indice pari ).
Insomma, per avere una soluzione elementare dovrebbe risultare che entrambe le successioni tendono ad uno stesso numero in $RR$ esteso, se è vero così, allora resta valido quello che ti ho scritto nel post precedente, ovvero il limite di quella particolare estratta tende allo stesso valore che ti sei trovato sopra ( per il teorema delle successioni estratte )
Si può ragionare anche così: la successione $b_k$ consta di infiniti termini di $a_k$ con indice pari, ergo c'è una sottosuccessione che converge a $0$ certamente.
Poi consta anche di infiniti termini di $a_k$ con indice dispari, questi invece sono espressi da potenze di $e$ nel cui esponente compaiono sempre e solo termini di $a_k$ di indice pari che, come sopra, forma una sottosuccessione che converge a $0$, questo implica che la sottossuccessione di $b_k$ dei termini di indice dispari converge invece ad $1$.
La successione mi pare non convergere, il limite superiore è $1$ e il limite inferiore $0$.
Poi consta anche di infiniti termini di $a_k$ con indice dispari, questi invece sono espressi da potenze di $e$ nel cui esponente compaiono sempre e solo termini di $a_k$ di indice pari che, come sopra, forma una sottosuccessione che converge a $0$, questo implica che la sottossuccessione di $b_k$ dei termini di indice dispari converge invece ad $1$.
La successione mi pare non convergere, il limite superiore è $1$ e il limite inferiore $0$.
Non avevo fatto i conti, ma visto che i due limiti sono diversi non possiamo subito trarre come conclusione che la successione di partenza non ha limite?
Ora però, il fatto che la ${a_n}$ non ha limite non implica affatto che la sua estratta ${a_(3k)}$ non abbia a sua volta limite a $oo$...Questo complica un pò le cose..
Ora però, il fatto che la ${a_n}$ non ha limite non implica affatto che la sua estratta ${a_(3k)}$ non abbia a sua volta limite a $oo$...Questo complica un pò le cose..
"pater46":
Non avevo fatto i conti, ma visto che i due limiti sono diversi non possiamo subito trarre come conclusione che la successione di partenza non ha limite?
Sicuro.
Ora però, il fatto che la ${a_n}$ non ha limite non implica affatto che la sua estratta ${a_(3k)}$ non abbia a sua volta limite a $oo$...Questo complica un pò le cose..
In generale si ma qui no.
Hai una funzione $b_k = a_(3k)$, $k$ in $N$, gli indici che selezioni, e quindi in definitiva i termini di ${a_k}$, sono alternativamente pari e dispari, anche se non consecutivi:
${b_k}={ a_3 .a_6 .a_9. a_(12) .a_(15)...}$ Da qui non puoi estrarre una sottosuccessione che tende a $+oo$. Se per assurdo esistesse, dovrebbe poter estrarsi da ${a_k}$ una sottosuccessione che tende a $+oo$, questa dovrebbe essere costituita da inifiniti termini pari, o da infiniti termini dispari, o infiniti termini di entrambi i tipi, e allora tenderebbe rispettivamente a $0$, a $1$, o non avrebbe limite, ma non va a $+oo$
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