Studio di successione
Sia data la seguente successione:
$ A\_{n} = {n*\arctan((-1)^n*\frac{2n+3}{n^2}), n > 0} $
è richiesto di calcolare:
- estremo superiore e inferiore di $ A\_{n} $
- $ min A\_{n}, max A\_{n} $ (se presenti)
- $ Dr(A\_{n}) $ (ma cos'è? L'insieme dei punti interni e di accumulazione?)
È evidente che, per poter studiare la successione, è necessario scinderla nelle due successioni, rispettivamente per $ n $ pari e dispari.
All'infinito, le due sottosuccessioni convergono a $ +2, -2 $ rispettivamente.
Stabilire se le due sottosuccessioni siano crescenti o decrescenti però mi risulta impossibile. Nello specifico:
- la derivata non è in forma chiusa
- calcolare la relazione d'ordine tra i termini $ a\_{n}, a\_{n+1} $ è improduttivo
- allo stesso modo, calcolarne il rapporto risulta inconcludente
Inoltre i due fattori, cioè $ n $ ed $ atan(arg) $ risultano essere, rispettivamente, crescente e decrescente, perciò non è possibile determinare il comportamento della successione secondo questo ragionamento.
L'unica cosa che mi viene in mente è di calcolare separatamente la derivata di uno e dell'altro termine, calcolarne i punti stazionari e vedere, per n vicini ai punti stazionari, qual è il comportamento delle sottosuccessioni, ma non mi sembra essere un metodo rigoroso (o in generale accettabile), altrimenti mi verrebbe in mente il metodo di bisezione sulla derivata, ma non è assolutamente un approccio fattibile in seduta d'esame.
$ A\_{n} = {n*\arctan((-1)^n*\frac{2n+3}{n^2}), n > 0} $
è richiesto di calcolare:
- estremo superiore e inferiore di $ A\_{n} $
- $ min A\_{n}, max A\_{n} $ (se presenti)
- $ Dr(A\_{n}) $ (ma cos'è? L'insieme dei punti interni e di accumulazione?)
È evidente che, per poter studiare la successione, è necessario scinderla nelle due successioni, rispettivamente per $ n $ pari e dispari.
All'infinito, le due sottosuccessioni convergono a $ +2, -2 $ rispettivamente.
Stabilire se le due sottosuccessioni siano crescenti o decrescenti però mi risulta impossibile. Nello specifico:
- la derivata non è in forma chiusa
- calcolare la relazione d'ordine tra i termini $ a\_{n}, a\_{n+1} $ è improduttivo
- allo stesso modo, calcolarne il rapporto risulta inconcludente
Inoltre i due fattori, cioè $ n $ ed $ atan(arg) $ risultano essere, rispettivamente, crescente e decrescente, perciò non è possibile determinare il comportamento della successione secondo questo ragionamento.
L'unica cosa che mi viene in mente è di calcolare separatamente la derivata di uno e dell'altro termine, calcolarne i punti stazionari e vedere, per n vicini ai punti stazionari, qual è il comportamento delle sottosuccessioni, ma non mi sembra essere un metodo rigoroso (o in generale accettabile), altrimenti mi verrebbe in mente il metodo di bisezione sulla derivata, ma non è assolutamente un approccio fattibile in seduta d'esame.
Risposte
Ok, la derivata uguagliata a zero non si risolve analiticamente e il criterio del rapporto è improduttivo.... a volte serve predere le formule "a martellate" per fargli dire quello che si intuisce in modo non rigoroso...
Prendi la succesione in valore assoluto, vedi che il primo valore è $arctan 5$ e il limite è $2$, quindi intuisco che la derivata è dercrescente. Il dubbio rimane se è decrescente "fin da subito".
Prendiamo la derivata (immaginiamo $n \in RR$) e si nota che siccome l'arcotangente è sempre <= del suo argomento...
$arctan((2n+3)/(n^2))+n (1)/(1+(2n+3)^2/(n^4)) (2n^2-4n^2-6n)/(n^4) <$
$<(2n+3)/(n^2)+ (-2n^3-6n^2)/(n^4+(2n+3)^2)= $
$=(2n^3+3n^2)/(n^4)+ (-2n^3-6n^2)/(n^4+(2n+3)^2)< $
$<(2n^3+3n^2)/(n^4)+ (-2n^3-6n^2)/(n^4)< 0$
Quindi la derivata è negativa fin da subito.
Prendi la succesione in valore assoluto, vedi che il primo valore è $arctan 5$ e il limite è $2$, quindi intuisco che la derivata è dercrescente. Il dubbio rimane se è decrescente "fin da subito".
Prendiamo la derivata (immaginiamo $n \in RR$) e si nota che siccome l'arcotangente è sempre <= del suo argomento...
$arctan((2n+3)/(n^2))+n (1)/(1+(2n+3)^2/(n^4)) (2n^2-4n^2-6n)/(n^4) <$
$<(2n+3)/(n^2)+ (-2n^3-6n^2)/(n^4+(2n+3)^2)= $
$=(2n^3+3n^2)/(n^4)+ (-2n^3-6n^2)/(n^4+(2n+3)^2)< $
$<(2n^3+3n^2)/(n^4)+ (-2n^3-6n^2)/(n^4)< 0$
Quindi la derivata è negativa fin da subito.
Scusa, ma non si dovrebbero studiare separatamente le due derivate? Non credo che le cose cambino di molto, in ogni caso.
Comunque grazie!
Comunque grazie!
"ampetrosillo":
Comunque grazie!
Comunque grazie ?
Ma se ti ha dato una dimostrazione da applausi !
Il problema è che qui spesso si gettano perle ai porci
"ampetrosillo":
Scusa, ma non si dovrebbero studiare separatamente le due derivate? Non credo che le cose cambino di molto, in ogni caso.
D'accordo, diciamo che dovresti essere in grado di estendere il risultato al caso in cui tutta la succcessione è l'opposto (moltiplicata per $-1$), oppure anche al caso a segni alterni.
E' immediato.
Comunque grazie!
Di questi tempi è già tanto anche un "grazie". (viewtopic.php?f=3&t=130930)
"stormy":
[quote="ampetrosillo"]Comunque grazie!
Comunque grazie ?
Ma se ti ha dato una dimostrazione da applausi !
Il problema è che qui spesso si gettano perle ai porci[/quote]
Eh?! Boh, non capisco. Cosa ho sbagliato?
Io l'ho ringraziato con sincerità (e lo dico onestamente), perchè ho capito che la dimostrazione era comunque corretta (infatti ho chiesto solo un chiarimento: del resto, la successione per $ n $ pari ed $ n $ dispari ha lo stesso comportamento a meno del segno, e volevo però sapere se fosse rigoroso, a livello di procedimento matematico, poter fare lo studio sulla successione in valore assoluto - per serie e integrali sicuramente lo è), ma a quanto pare è stato addirittura un affronto (tanto da definirmi addirittura un "porco", ovviamente per quanto riguarda il detto), la prossima volta evidentemente mi dovrò esimere dal farlo. O forse un grazie non era abbastanza? A questo punto non so cosa lo sia. Mai avrei pensato di dover ritrovarmi a giustificare un ringraziamento, ma c'è sempre una prima volta
Certo che già ritrovarmi in una controversia da forum dopo 6 post, a livello dei migliori troll, un risultato da professionista!
"ampetrosillo":
... la prossima volta evidentemente mi dovrò esimere dal farlo. ...
I ringraziamenti van sempre bene
, magari lascia perdere i "comunque" che si possono fraintendere 
Cordialmente, Alex
Eh OK, quel "comunque" non era per dire "vabè, non mi sei servito a un ****, ma grazie del pensiero", ho capito che "a pensar male si compie peccato ma ecc.", però...!
Era semplicemente per dire, tolto il mio dubbio (che già avevo detto essere probabilmente ininfluente), rimaneva comunque da ringraziare. Un po' più di relax, la prossima volta, eh?
Era semplicemente per dire, tolto il mio dubbio (che già avevo detto essere probabilmente ininfluente), rimaneva comunque da ringraziare. Un po' più di relax, la prossima volta, eh?
Avevamo capito, ma non siamo tutti uguali ...
Ciao, Alex
P.S.: COMUNQUE, a un vero troll, basta un post ...
Ciao, Alex
P.S.: COMUNQUE, a un vero troll, basta un post ...
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