Studio di sommabilità...
Buongiorno a tutti, mi è data da studiare la sommabilità della seguente f(x)
f(x)=(x^b)/x(1+x^2)
potreste dirmi qual è il ragionamento che devo seguire per studiare la sommabilità di questa f(x)??
f(x)=(x^b)/x(1+x^2)
potreste dirmi qual è il ragionamento che devo seguire per studiare la sommabilità di questa f(x)??
Risposte
Guarda, un piccolo suggerimento (non è un rimprovero, tutt'altro 
):
tu hai scritto
"f(x)=(x^b)/x(1+x^2)"
Se all'inizio ed alla fine di questa espressione metti un simbolo di dollaro guarda cosa viene fuori:
"$f(x)=(x^b)/x(1+x^2)$".
Però credo che nel tuo caso intendessi questa
"$f(x)=(x^b)/(x(1+x^2))$"
che si ottiene aggiungendo una parentesi al denominatore (come si fa quando si scrivono le equazioni in orizzontale):
"f(x)=(x^b)/(x(1+x^2))".
Ragazzi, le formule non sono impossibili da usare, anzi, per i polinomi sono molto semplici ed intuitive (nella stragrande maggioranza dei casi). Per espressioni complesse c'è un piccolo editor presente sotto le emoticons quando si scrive un messaggio. Lo si attiva cliccando sul pulsante "Formula".
Ora non ho molto tempo perché devo andare via, però vediamo se ti aiuta quello che ti dico.
Presumo che "funzione sommabile" intendi che devi vedere per quali valori di $b$ il suo integrale esista e sia finito.
Se è così basta fare l'integrale e vedere per quali valori del parametro "$b$" l'integrale della funzione è $<\infty$. Ovviamente questo suggerimento vale se intendi "sommabile" come lo intendo io...
La difficoltà potrebbe essere nel calcolo dell'integrale, questo non lo so, però per qualche caso potresti stimarlo con altri che conosci.
):tu hai scritto
"f(x)=(x^b)/x(1+x^2)"
Se all'inizio ed alla fine di questa espressione metti un simbolo di dollaro guarda cosa viene fuori:
"$f(x)=(x^b)/x(1+x^2)$".
Però credo che nel tuo caso intendessi questa
"$f(x)=(x^b)/(x(1+x^2))$"
che si ottiene aggiungendo una parentesi al denominatore (come si fa quando si scrivono le equazioni in orizzontale):
"f(x)=(x^b)/(x(1+x^2))".
Ragazzi, le formule non sono impossibili da usare, anzi, per i polinomi sono molto semplici ed intuitive (nella stragrande maggioranza dei casi). Per espressioni complesse c'è un piccolo editor presente sotto le emoticons quando si scrive un messaggio. Lo si attiva cliccando sul pulsante "Formula".
Ora non ho molto tempo perché devo andare via, però vediamo se ti aiuta quello che ti dico.
Presumo che "funzione sommabile" intendi che devi vedere per quali valori di $b$ il suo integrale esista e sia finito.
Se è così basta fare l'integrale e vedere per quali valori del parametro "$b$" l'integrale della funzione è $<\infty$. Ovviamente questo suggerimento vale se intendi "sommabile" come lo intendo io...
La difficoltà potrebbe essere nel calcolo dell'integrale, questo non lo so, però per qualche caso potresti stimarlo con altri che conosci.
grazie mille, chiedo scusa per la formula la prossima volta cercherò di scriverla per bene.
Cmq quello che intendo per sommabile è proprio ciò che hai detto tu zero87, però mi servirebbe una mano nel procedimento in quanto quest'ultima parte del corso di analisi nn ho potuto seguirla e quindi ora mi trovo in difficoltà...
Cmq quello che intendo per sommabile è proprio ciò che hai detto tu zero87, però mi servirebbe una mano nel procedimento in quanto quest'ultima parte del corso di analisi nn ho potuto seguirla e quindi ora mi trovo in difficoltà...
I'm back... vediamo...
Hai la funzione $f(x)=(x^b)/(x(1+x^2))$ di cui vuoi studiarne la sommabilità. Ora, per definizione dovrei calcolarmi l'integrale (suppongo su $\RR$ dato che non hai specificato un intervallo).
La funzione ha una discontinuità nello zero (per colpa di quella $x$ al denominatore) che, per $b>1$ diventa eliminabile, però è pur sempre una discontinuità. Comunque questa discontinuità non da fastidio perché se parli di sommabilità mi viene in mente l'integrale di lebesgue quindi il q.o.. In altre parole questa funzione ha un "buco" di misura nulla quindi non da fastidio...
Allora, quindi, analizzo la situazione.
$\int_{-\infty}^{+\infty} (x^b)/(x(1+x^2))dx=\int_{-\infty}^{0} (x^b)/(x(1+x^2))dx+\int_{0}^{+\infty} (x^b)/(x(1+x^2))dx$ per le proprietà dell'integrale. In questo modo ho 2 integrali impropri ed ho eliminato quella fastidiosa discontinuità nel mezzo dell'integrando...
Ora si tratta solamente di calcolarli e/o stimarli (sempre se ci si riesce), una cosa in cui io mi ci taglio parecchio...
L'unica cosa che farei io è considerare 3 casi:
-caso $b=0$ e calcolarsi l'integrale (la primitiva è abbastanza semplice, nell'integrale ho $1/(x(1+x^2))$ che è qualcosa del tipo $1/(f'(x)f(x))$ (manca una costante ma non è un problema) che mi pare che sia una di quelle formule immediate per l'integrale... e vedere cosa succede cioè se è finito o meno...
-caso $b<0$, e sempre in questo caso calcolarsi l'integrale.
-caso $b>0$, e sempre calcolarsi l'integrale.
Ora, non faccio i calcoli per 2 motivi.
Il primo motivo è che non è conveniente per la comprensione (regolamento a parte) che ti do direttamente la soluzione.
Il secondo motivo è che mi ci taglio tanto con i calcoli, quindi in un momento libero (se nel frattempo non risponde qualcuno) me li faccio carta e penna non al pc...!
Ciaociao
Hai la funzione $f(x)=(x^b)/(x(1+x^2))$ di cui vuoi studiarne la sommabilità. Ora, per definizione dovrei calcolarmi l'integrale (suppongo su $\RR$ dato che non hai specificato un intervallo).
La funzione ha una discontinuità nello zero (per colpa di quella $x$ al denominatore) che, per $b>1$ diventa eliminabile, però è pur sempre una discontinuità. Comunque questa discontinuità non da fastidio perché se parli di sommabilità mi viene in mente l'integrale di lebesgue quindi il q.o.. In altre parole questa funzione ha un "buco" di misura nulla quindi non da fastidio...
Allora, quindi, analizzo la situazione.
$\int_{-\infty}^{+\infty} (x^b)/(x(1+x^2))dx=\int_{-\infty}^{0} (x^b)/(x(1+x^2))dx+\int_{0}^{+\infty} (x^b)/(x(1+x^2))dx$ per le proprietà dell'integrale. In questo modo ho 2 integrali impropri ed ho eliminato quella fastidiosa discontinuità nel mezzo dell'integrando...
Ora si tratta solamente di calcolarli e/o stimarli (sempre se ci si riesce), una cosa in cui io mi ci taglio parecchio...
L'unica cosa che farei io è considerare 3 casi:
-caso $b=0$ e calcolarsi l'integrale (la primitiva è abbastanza semplice, nell'integrale ho $1/(x(1+x^2))$ che è qualcosa del tipo $1/(f'(x)f(x))$ (manca una costante ma non è un problema) che mi pare che sia una di quelle formule immediate per l'integrale... e vedere cosa succede cioè se è finito o meno...
-caso $b<0$, e sempre in questo caso calcolarsi l'integrale.
-caso $b>0$, e sempre calcolarsi l'integrale.
Ora, non faccio i calcoli per 2 motivi.
Il primo motivo è che non è conveniente per la comprensione (regolamento a parte) che ti do direttamente la soluzione.
Il secondo motivo è che mi ci taglio tanto con i calcoli, quindi in un momento libero (se nel frattempo non risponde qualcuno) me li faccio carta e penna non al pc...!
Ciaociao
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