Studio di serie di potenze

[zio_mangrovia]

Studiando questa serie di potenze negli appunti di... vedo che:

$\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$

$\lim_{n \to \infty}1/(n!)$=$0$=$\varphi$

conclude con $R=1/\varphi$=$\infty$ e converge assolutamente $AAx$

Domanda: non capisco perché non viene applicata la regoletta per trovare $\lim_{n \to \infty}(root(n)(abs(1/(n!))))$=$\varphi$

[laura1232]

In realtà dovresti calcolare il limite $\lim_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n+1}=0$
quindi $R=+\infty$ la serie converge puntualmente su $\mathbb{R}$ e totalmente (quindi anche uniformemente) su ogni compatto di $\mathbb{R}$

[zio_mangrovia]

Mi sfugge questo passaggio... negli appunti prima dice di calcolare $\varphi$ applicando il metodo dalla radice e successivamente il raggio che non è altro che l'inverso del valore del limite appena calcolato.
Il criterio del rapporto non lo vedo citato negli appunti, nel caso potete indicarmi documentazione in merito? Grazie

[laura1232]

dovrebbe essere presente su quasi ogni libro di analisi 2, oppure puoi dare un'occhiata anche qui https://it.wikipedia.org/wiki/Raggio_di_convergenza