Studio di serie di potenze

[elettronica.90]

Salve a tutti.. Non riesco a risolvere alcuni problemi con lo studio di serie di potenze, di cui dovrei trovare l'insieme di convergenza:

1) $\sum_{n=1}^infty x^n/n$
$x_0=0$; $a_n=1/n$; $a_(n+1)=1/(n+1)$ Uso il criterio del rapporto: $L=lim_{n \to \infty}a_(n+1)/a_n=lim_{n \to \infty}n/(n+1)$ Adesso non saprei come continuare. La stessa cosa vale per le altre serie..

2) $\sum_{n=0}^infty x^n/(n!)$
$x_0=0$; $a_n=1/(n!)$; $a_(n+1)=1/[(n+1)!]$; $L=lim_{n \to \infty}a_(n+1)/a_n=lim_{n \to \infty}(n!)/[(n+1)!]$

3) $\sum_{n=0}^infty (x-2)^n/(2n+1)$
$x_0=2$; $a_n=1/(2n+1)$; $a_(n+1)=1/(2n+3)$; $L=lim_{n \to \infty}a_(n+1)/a_n=lim_{n \to \infty}(2n+1)/(2n+3)$

4) $\sum_{n=1}^infty x^n/root(3)(n)$
$x_0=0$; $a_n=1/root(3)(n)$; $a_(n+1)=1/root(3)(n+1)$; $L=lim_{n \to \infty}a_(n+1)/a_n=lim_{n \to \infty}root(3)(n)/root(3)(n+1)=lim_{n \to \infty}root(3)(n/(n+1))$

5) $\sum_{n=0}^infty x^n/(n^2+1)$

Potreste aiutarmi a risolvere questi esercizi? Grazie per l'aiuto

[Bremen000]

Più che le serie, penso che tu abbia problemi con i limiti! Cioè l'esercizio è fatto, bisogna solo calcolare i limiti. Ad esempio per il primo:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n} = 1$$

giacché quando $n$ tende a $\infty$ si possono trascurare gli infiniti di ordine inferiore, cioè per numeratore e denominatore puoi guardare solo le potenze di n ordine maggiore (in questo caso al numeratore c'era solo $n$ che ha grado 1 e al denominatore si è trascurato 1 che ha grado 0...) prova a fare gli altri adesso!