Studio di serie di funzioni
Ciao, questa è la prima volta che scrivo sul forum, ma vi seguo oramai da tempo! Ho enormi difficoltà con lo studio della convergenza puntuale e uniforme delle serie di funzioni. Qual è il procedimento standard che posso intraprendere per ogni esercizio, e che mi permette di capire se devo sfruttare un certo teorema piuttosto che qualcos'altro?
Vi propongo intanto la seguente serie di funzioni, sperando che possiate aiutarmi, oltre che nello svolgimento, a capire il ragionamento che mi porta a compiere certe azioni piuttosto che delle altre:
[sqrt(n)*|x|]/[(n^2*x^2)-2]
con n che va da 1 a infinito
Grazie mille!
Vi propongo intanto la seguente serie di funzioni, sperando che possiate aiutarmi, oltre che nello svolgimento, a capire il ragionamento che mi porta a compiere certe azioni piuttosto che delle altre:
[sqrt(n)*|x|]/[(n^2*x^2)-2]
con n che va da 1 a infinito
Grazie mille!
Risposte
Ciao!
Anche io sto prendendo dimestichezza con le serie di funzioni, perciò ci provo:
- negli esercizi che trovo su internet spesso le serie di funzioni vengono ricondotte a serie di potenze, con sostituzioni opportune o mediante osservazione (queste sono infatti molto meccaniche)
- se non si possono ricondurre ad esse, i metodi che uso io sono in generale due:
>>>studio della convergenza puntuale: semplicemente si fissa $x$ e si procede a studiare la serie numerica risultante. Si determina così l'insieme di convergenza puntuale.
>>>studio della convergenza uniforme e/o totale: in particolare uso due Teoremi, il Teorema di Weierstrass e quello sulle derivate (rimando a qualsiasi testo di teoria per entrambi). In generale, quando hai la $x$ in seni e coseni tornano utili le maggiorazioni e quindi il Teorema di Weierstrass, mentre quando non sai che pesci pigliare usa quello sulle derivate (se converge la serie delle derivate, converge anche quella delle primitive)
Spero di essere stato utile
P.s. Non sono riuscito a capire che serie fosse quella che hai pubblicato, prova a riscriverla utilizzando "aggiungi formula" nell'editor messaggi!
Anche io sto prendendo dimestichezza con le serie di funzioni, perciò ci provo:
- negli esercizi che trovo su internet spesso le serie di funzioni vengono ricondotte a serie di potenze, con sostituzioni opportune o mediante osservazione (queste sono infatti molto meccaniche)
- se non si possono ricondurre ad esse, i metodi che uso io sono in generale due:
>>>studio della convergenza puntuale: semplicemente si fissa $x$ e si procede a studiare la serie numerica risultante. Si determina così l'insieme di convergenza puntuale.
>>>studio della convergenza uniforme e/o totale: in particolare uso due Teoremi, il Teorema di Weierstrass e quello sulle derivate (rimando a qualsiasi testo di teoria per entrambi). In generale, quando hai la $x$ in seni e coseni tornano utili le maggiorazioni e quindi il Teorema di Weierstrass, mentre quando non sai che pesci pigliare usa quello sulle derivate (se converge la serie delle derivate, converge anche quella delle primitive)
Spero di essere stato utile
P.s. Non sono riuscito a capire che serie fosse quella che hai pubblicato, prova a riscriverla utilizzando "aggiungi formula" nell'editor messaggi!
Ciao e grazie per la risposta! Riscrivo la serie di funzioni:
$ [sqrt(n)*|x|]/[(n^2*x^2)-2] $
con n che parte da 1. Pensi di saperla risolvere? Qui si possono anche inviare messaggi privati?
$ [sqrt(n)*|x|]/[(n^2*x^2)-2] $
con n che parte da 1. Pensi di saperla risolvere? Qui si possono anche inviare messaggi privati?
La formula non viene visualizzata correttamente comunque.. Non so il perché! Comunque la serie di funzioni nel formato il cui l'ho scritta sopra credo sia comprensibile.. Fammi sapere
Beh, inizierei osservando che (convergenza puntuale) se fisso $x in RR $ la serie cosi fatta converge, essendo riconducibile alla serie di $ 1/n^(3/2) $. Questo chiaramente non vale per la soluzione banale $ x=0 $, per cui la serie si annulla. TI lascio provare la convergenza uniforme con quanto detto sopra
Non ho capito come ci sei arrivato..cioè se fissi la x ma in quale intervallo? per ogni x? potresti spiegarti meglio? che limite hai calcolato?
Allora, se fisso $x>0$,
$ lim_(n->oo)[sqrt(n)*|x|]/[(n^2*x^2)-2]=lim_(n->oo)(sqrt(n))/n^2=lim_(n->oo)1/n^(3/2)=0 $, ossia ha ordine di infinitesimo maggiore di 1. Con gli stessi passaggi puoi dire che la serie iniziale è asintotica proprio alla serie di termine generale $1/n^(3/2) $, che converge per quanto detto sugli ordini di infinitesimo.
Stesso ovvio ragionamento per gli $x<0$, poiché sebbene ci sia un segno $ - $, esso non influisce sulla convergenza.
$ lim_(n->oo)[sqrt(n)*|x|]/[(n^2*x^2)-2]=lim_(n->oo)(sqrt(n))/n^2=lim_(n->oo)1/n^(3/2)=0 $, ossia ha ordine di infinitesimo maggiore di 1. Con gli stessi passaggi puoi dire che la serie iniziale è asintotica proprio alla serie di termine generale $1/n^(3/2) $, che converge per quanto detto sugli ordini di infinitesimo.
Stesso ovvio ragionamento per gli $x<0$, poiché sebbene ci sia un segno $ - $, esso non influisce sulla convergenza.
ok, invece per lo studio della convergenza uniforme come faccio a capire se è possibile fare qualche maggiorazione..e se posso quindi poi andare a sfruttare il teorema di weierstrass?
inoltre, visto che si parla di convergenza uniforme e puntuale, per le successioni di funzioni sai dirmi come procedere? cioè valgono le stesse considerazioni e criteri che mi hai accennato prima per le serie di funzioni?
inoltre, visto che si parla di convergenza uniforme e puntuale, per le successioni di funzioni sai dirmi come procedere? cioè valgono le stesse considerazioni e criteri che mi hai accennato prima per le serie di funzioni?
Per le successioni è tutto molto più facile:
la convergenza puntuale è semplicissima, basta fissare $x$ e svolgere il limite per $ n->oo $ della successione numerica così ottenuta.
la convergenza uniforme si studia utilizzando la definizione, e quindi trovando il sup della successione di funzioni. Si trova abbastanza facilmente, di solito studiando la derivata...
la convergenza puntuale è semplicissima, basta fissare $x$ e svolgere il limite per $ n->oo $ della successione numerica così ottenuta.
la convergenza uniforme si studia utilizzando la definizione, e quindi trovando il sup della successione di funzioni. Si trova abbastanza facilmente, di solito studiando la derivata...
Quindi per le successioni di funzioni, per quanto riguarda la convergenza puntuale si procede come per le serie di funzioni? Ma non so come fissare le x.. Che ragionamento si fa?
Mentre per la convergenza uniforme.. Come si fa a calcolare il sup?
Mentre per la convergenza uniforme.. Come si fa a calcolare il sup?
Up 
.. Qualcuno puó gentilmente rispondere ai miei dubbi? Grazie
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