Studio di serie con parametro

[elettronica.90]

Salve a tutti.. Purtroppo mi sono perso le ultime lezioni sulle serie e non riesco a fare questi esercizi. Potreste gentilmente darmi qualche indicazione su come svolgerli, oppure farmi qualche esempio?

Studiare il carattere delle seguenti serie al variare del parametro reale k (se converge, calcolarne la somma):
$\sum_{n=4}^\infty\(frac{-2}{3+k^2})^n$ ; $\sum_{n=2}^\infty\(3-k^2)^n$ ; $\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{(1+2k)^n}$

Grazie in anticipo per l'aiuto

[stormy1]

le prime 2 sono serie geometriche
anche la terza può essere ricondotta ad una serie geometrica portando il 2 fuori dalla sommatoria
a questo punto basta ricordare qual è la condizione di convergenza di una serie geometrica

per il calcolo della somma tieni presente che $n$ non parte da zero

[elettronica.90]

Ok.. Ho svolto due esercizi e questi sono i risultati:
$ \sum_{n=1}^\infty\frac{2}{(1+2k)^n} $
$k>=0$ serie divergente positivamente
$k<=-2$ serie indeterminata
$-2
$ \sum_{n=2}^\infty\(3-k^2)^n $
$k<=-2$ e $k>=2$ serie indeterminata
$-sqrt(2)<=k<=sqrt(2)$ serie divergente positivamente
$-2
Sono giusti i risultati?

Riguardo invece quest'altro, ho un dubbio. Come si fa, visto che c'è un $-2$ al numeratore?
$ \sum_{n=4}^\infty\(frac{-2}{3+k^2})^n $

[elettronica.90]

"TeM":$ \sum_{n=1}^\infty\frac{2}{(1+2k)^n} $
$k>=0$ serie divergente positivamente
$k<=-2$ serie indeterminata
$-2 Non ci siamo. Osserva che \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(1+2k)^n} = 2\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{1+2k}\right)^n \] ove, appunto, si ha \(q =\frac{1}{1+2k} \)

Si.. Scusami Ho dato il risultato di un altro esercizio che intanto stavo facendo $\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{(k+1)^n} $.
I risultati giusti dell'altro dovrebbero essere:
$k>=0$ serie divergente positivamente
$k<=-1$ serie indeterminata
$-1
Riguardo all'altro $ \sum_{n=4}^\infty\(frac{-2}{3+k^2})^n $, il mio dubbio sul numeratore è quando vado a porre la condizione $-2/(3+k^2)>=1$. La serie non diverge mai positivamente, vero? Quando devo controllare la convergenza, ponendo $-1
Ho fatto anche quest'altro: $ \sum_{n=4}^\infty\(frac{1}{1+k^2})^n $. Come risultato, ho che per $k>=O$, la serie è positivamente divergente, mentre è convergente per $k<0$ con somma $1/k^2$. E' corretto?

[elettronica.90]

Scusami, ma avevo proprio dimenticato come si fanno le disequazioni (erano anni che non ne facevo)...
Ho rifatto tutti i calcoli e questi sono i risultati:

$ \sum_{n=1}^\infty\frac{2}{(k+1)^n} $
- Serie positivamente divergente per $-1 - Serie indeterminata per $-2<=k<-1$
- Serie convergente per $k<-2$ e $k>0$ con somma $2/(k+1)$

$ \sum_{n=1}^\infty\frac{2}{(1+2k)^n} $
- Serie positivamente divergente per $-1/2 - Serie indeterminata per $-1<=k<-1/2$
- Serie convergente per $k<-1$ e $k>0$ con somma $1/k$

$ \sum_{n=1}^\infty\(frac{1}{1+k^2})^n $
- Serie positivamente divergente per $k=0$
- Serie convergente per $RR-{0}$ con somma $1/k^2$

$ \sum_{n=4}^\infty\(frac{-2}{3+k^2})^n $
- Serie convergente per $RR$ con somma $16/[(k^2+3)^3(k^2+5)]$

Sono corrette adesso?