Studio di serie
Mi potreste dire se questi studi di convrgenza di serie sono corretti?
1) [tex]\displaystyle\sum {1\over{\sqrt{n^{2}+3n+7}}}[/tex]
Dunque io ho posto:
[tex]{1\over{\sqrt{n^{2}+3n+7}} }< {1\over{\sqrt{n^{2}}}} = {1 \over n }[/tex]
Quindi 1/n è il termine della serie armonica, quindi:
[tex]\displaystyle\sum {1 \over n}[/tex] converge
e dato che la nostra serie di partenza è a termini positivi quindi crescente ma minore della serie armonica è anch essa convergente.
2) [tex]\displaystyle\sum sin^{2}{1 \over n}[/tex]
Di nuovo:
[tex]{\displaystyle\sum sin^{2}{1 \over n} } < {\displaystyle\sum sin{1 \over n} } < {\displaystyle\sum {1 \over n} }[/tex]
Spiego questi passaggi: il primo è dovuto al fatto che il seno assume valori positivi >0 quindi il suo quadrato è minore..
il secondo in quanto mi pare che il seno tenda a 0 più velocemente dell argomento..
quindi per il ragionamento visto prima anche questa converge...
vanno bene??
1) [tex]\displaystyle\sum {1\over{\sqrt{n^{2}+3n+7}}}[/tex]
Dunque io ho posto:
[tex]{1\over{\sqrt{n^{2}+3n+7}} }< {1\over{\sqrt{n^{2}}}} = {1 \over n }[/tex]
Quindi 1/n è il termine della serie armonica, quindi:
[tex]\displaystyle\sum {1 \over n}[/tex] converge
e dato che la nostra serie di partenza è a termini positivi quindi crescente ma minore della serie armonica è anch essa convergente.
2) [tex]\displaystyle\sum sin^{2}{1 \over n}[/tex]
Di nuovo:
[tex]{\displaystyle\sum sin^{2}{1 \over n} } < {\displaystyle\sum sin{1 \over n} } < {\displaystyle\sum {1 \over n} }[/tex]
Spiego questi passaggi: il primo è dovuto al fatto che il seno assume valori positivi >0 quindi il suo quadrato è minore..
il secondo in quanto mi pare che il seno tenda a 0 più velocemente dell argomento..
quindi per il ragionamento visto prima anche questa converge...
vanno bene??
Risposte
[tex]$\sum \frac{1}{n}$[/tex] convergente??? 
Ciao.
Non vorrei sbagliarmi
Ma la prima a me viene
$\sum 1/n$ che è una serie armonica divergente
la seconda invece verrebbe:
$\sum sin^2(1/n)$
ovvero: $\sum (sin(1/n))^2$
dunque: $\sum 1/n^2$ (per confronto asintotico)
la serie è armonica convergente.
Corregetemi se sbaglio.
Ciao.
Non vorrei sbagliarmi
Ma la prima a me viene
$\sum 1/n$ che è una serie armonica divergente
la seconda invece verrebbe:
$\sum sin^2(1/n)$
ovvero: $\sum (sin(1/n))^2$
dunque: $\sum 1/n^2$ (per confronto asintotico)
la serie è armonica convergente.
Corregetemi se sbaglio.
Ciao.
Quello che ha detto Clever è giusto, comunque presta attenzione anche alla "faccia" fatta da Gugo perchè se ad analisi1 scrivi a un professore che $\sum1/n$ converge ti rimanda senza leggere il resto del compito 
"Hop Frog":
Mi potreste dire se questi studi di convrgenza di serie sono corretti?
1) [tex]\displaystyle\sum \frac{1}{\sqrt{n^{2}+3n+7}}}[/tex]
Dunque io ho posto:
[tex]{1\over{\sqrt{n^{2}+3n+7}} }< {1\over{\sqrt{n^{2}}}} = {1 \over n }[/tex]
Quindi 1/n è il termine della serie armonica, quindi:
[tex]\displaystyle\sum {1 \over n}[/tex] converge
e dato che la nostra serie di partenza è a termini positivi quindi crescente ma minore della serie armonica è anch essa convergente.
2) [tex]\displaystyle\sum sin^{2}{1 \over n}[/tex]
Di nuovo:
[tex]{\displaystyle\sum sin^{2}{1 \over n} } < {\displaystyle\sum sin{1 \over n} } < {\displaystyle\sum {1 \over n} }[/tex]
Spiego questi passaggi: il primo è dovuto al fatto che il seno assume valori positivi >0 quindi il suo quadrato è minore..
il secondo in quanto mi pare che il seno tenda a 0 più velocemente dell argomento..
quindi per il ragionamento visto prima anche questa converge...
vanno bene??
1) La serie [tex]\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n} = +\infty[/tex], di conseguenza la disuguaglianza da te scritta non porta da nessuna parte visto che stai maggiorando la serie di partenza con una divergente. In questo caso sarebbe opportuno minorare la nostra serie con una divergente, oppure cambiare approccio.
Io consiglio questa strada:
Sappiamo che definitivamente [tex]n^2+3n +7\le n^2+n^2+n^2 = 3n^2[/tex] (definitivamente significa da un certo indice [tex]n_0\in \mathbb{N}[/tex] in poi). Poichè la radice è una funzione crescente allora definitivamente abbiamo:
[tex]\sqrt{n^2+3n+7}\le \sqrt{3 n^2}=\sqrt{3} n[/tex]. Passando ai reciproci scopriamo che definitivamente:
[tex]\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}n}\le \frac{1}{\sqrt{n^2+3n +7}}[/tex]. Ora applicando il criterio del confronto, potresti arrivare a delle conclusioni.
Questo è un modo, ma puoi benissimo applicare il criterio del confronto asintotico, che effettivamente ti permette di concludere in modo pressochè immediato
Per la seconda, la strada scelta da clever è corretta
@ Clever, i risultato sono giusti, ma visto che anche tu stai preparando analisi, sarebbe interessante e costruttivo spiegare anche perchè le cose funzionano , e ti assicuro che è un esercizio che porterà molti benefici anche a te
[Edit]: Attenzione, il termine definitivamente è necessario, senza di esso infatti alcune disuguaglianze non sarebbero vere
@Mathematico.
E' vero!
Per la prima non ho specificato i miei passaggi, ma intuitivamente avevo messo al denominatore $n^2$
che con la radice si semplifica diventando solo $n$
da qui poi l'applicazione della definizione che $\sum 1/n$ è una serie armonica divergente.
E' vero!
Per la prima non ho specificato i miei passaggi, ma intuitivamente avevo messo al denominatore $n^2$
che con la radice si semplifica diventando solo $n$
da qui poi l'applicazione della definizione che $\sum 1/n$ è una serie armonica divergente.
"clever":
@Mathematico.
E' vero!
Per la prima non ho specificato i miei passaggi, ma intuitivamente avevo messo al denominatore $n^2$
che con la radice si semplifica diventando solo $n$
da qui poi l'applicazione della definizione che $\sum 1/n$ è una serie armonica divergente.
E' un metodo che applico anch'io ma solo nella mia testolina bacata. Onestamente in una prova d'esame non credo verrebbe accettata, anzi no, ne sono sicuro, non viene presa in considerazione
.Come aggireresti questo problema? PS: E' chiaro che tu sappia risolvere in modo qualitativo le serie, vorrei chiederti di sforzarti ad essere più formale (da che pulpito viene la predica
)
Applicherei delle maggiorazioni, o qualcosa del genere per portarmi a qualche teorema del confronto.
In effetti quel ragionamento lo adotto per sentirmi più sicuro del risultato.
Cercherò di sforzarmi quanto posso.
Grazie del suggerimento.
In effetti quel ragionamento lo adotto per sentirmi più sicuro del risultato.
Cercherò di sforzarmi quanto posso.
Grazie del suggerimento.
Un altro modo poteva essere considerare questa uguaglianza asintotica: [tex]\displaystyle sin^{2}{1 \over n}[/tex] $\sim -1/n^2$
"Mathematico":
[quote="clever"]@Mathematico.
E' vero!
Per la prima non ho specificato i miei passaggi, ma intuitivamente avevo messo al denominatore $n^2$
che con la radice si semplifica diventando solo $n$
da qui poi l'applicazione della definizione che $\sum 1/n$ è una serie armonica divergente.
E' un metodo che applico anch'io ma solo nella mia testolina bacata. Onestamente in una prova d'esame non credo verrebbe accettata, anzi no, ne sono sicuro, non viene presa in considerazione
.Come aggireresti questo problema? PS: E' chiaro che tu sappia risolvere in modo qualitativo le serie, vorrei chiederti di sforzarti ad essere più formale (da che pulpito viene la predica
)[/quote]Mah, che io sappia si può fare quello che ha fatto clever, ed alla fine quello che ha fatto lui è proprio l'applicazione del criterio del confronto asintotico.
Parlo per esperienza personale: negli esami svolti di Analisi il professore applicava questo metodo, e quando poi l'esame l'ho fatto io e l'ho applicato ho preso il massimo dei punti alla serie
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