Studio di funzioni in due variabili
Ciao a tutti, ho un problema con il seguente studio di funzioni in due variabili:
Determinare massimo e minimo della funzione: \(\displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{15+x^2 y^2} \) sull'insieme
\(\displaystyle V=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | 0\le y \le 5-x^4\right\} \) .
Innanzitutto si osserva che V è compatto, quindi Weiestrass garantisce l'esistenza di massimo e minimo.
Andando a calcolare il gradiente della funzione trovo che i punt stazionari interni sono: (0,0) e i punti che risolvono
\(\displaystyle x^2y^2=15 \) e che stanno in V (ma non riesco a calcolarli esplicitamente).
Ho poi cercato di parametrizzare il bordo di V come:
\(\displaystyle B1=\left\{(t,0) | t\in [-5^{1/4} ; 5^{1/4} ] \right\} \);
\(\displaystyle B2= \left\{(t,5-t^4) | t\in [-5^{1/4} ; 5^{1/4} ] \right\} \)
B1 non mi crea particolari problemi, mentre per B2 non so come calcolare esplicitamente i punti di max/min (che so esistere).
Potete darmi una mano? Grazie mille in anticipo
Determinare massimo e minimo della funzione: \(\displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{15+x^2 y^2} \) sull'insieme
\(\displaystyle V=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | 0\le y \le 5-x^4\right\} \) .
Innanzitutto si osserva che V è compatto, quindi Weiestrass garantisce l'esistenza di massimo e minimo.
Andando a calcolare il gradiente della funzione trovo che i punt stazionari interni sono: (0,0) e i punti che risolvono
\(\displaystyle x^2y^2=15 \) e che stanno in V (ma non riesco a calcolarli esplicitamente).
Ho poi cercato di parametrizzare il bordo di V come:
\(\displaystyle B1=\left\{(t,0) | t\in [-5^{1/4} ; 5^{1/4} ] \right\} \);
\(\displaystyle B2= \left\{(t,5-t^4) | t\in [-5^{1/4} ; 5^{1/4} ] \right\} \)
B1 non mi crea particolari problemi, mentre per B2 non so come calcolare esplicitamente i punti di max/min (che so esistere).
Potete darmi una mano? Grazie mille in anticipo
Risposte
Ciao
in questi casi consiglio sempre di fare lo studio del segno
in questi casi consiglio sempre di fare lo studio del segno
"gio73":
Ciao
in questi casi consiglio sempre di fare lo studio del segno
Se potessi avere proprio tutti i passaggi sarebbe meglio
Non èche sia tanto difficile..
il denominatore è sempre positivo, il numeratore è fatto dal prodotto $xy$, pertanto saà positivo nel settore contenuto nel I quadrante e negativo nel settore contenuto nel II, la funzione vale 0 lungo gli assi coordinati, perciò direi che è inutile cecare massimi o minimi lungo l'asse x...
il denominatore è sempre positivo, il numeratore è fatto dal prodotto $xy$, pertanto saà positivo nel settore contenuto nel I quadrante e negativo nel settore contenuto nel II, la funzione vale 0 lungo gli assi coordinati, perciò direi che è inutile cecare massimi o minimi lungo l'asse x...
"gio73":
Non èche sia tanto difficile..
il denominatore è sempre positivo, il numeratore è fatto dal prodotto $xy$, pertanto saà positivo nel settore contenuto nel I quadrante e negativo nel settore contenuto nel II, la funzione vale 0 lungo gli assi coordinati, perciò direi che è inutile cecare massimi o minimi lungo l'asse x...
si OK ma infatti ho detto che B1 (che sarebbe appunto la retta y=0) NON mi dà problemi, quanto piuttosto non so come fare per B2
"Lebesgue":
e i punti che risolvono
\(\displaystyle x^2y^2=15 \) e che stanno in V (ma non riesco a calcolarli esplicitamente).
$x^2y^2=15 -> (xy)^2=15 -> xy=+-sqrt15$
otteniamo dunque due curve
$xy=sqrt15$ che è un'iperbole equilatera contenuta nel I e III quadrante (ma a noi interessa solo il primo)
e l'altra, speculare $xy=-sqrt15$ contenuta nel II e IV, (ma a noi interessa solo il II)
non ho capito il bump
la funzione avrà i punti di massimo lungo il ramo di iperbole $xy=+sqrt15$ contenuta nel settore del insieme V contenuto nel I quadrante e i punti di minimo lungo il ramo di iperbole $xy=-sqrt15$ contenuta nel settore del insieme V contenuto nel II quadrante
la funzione avrà i punti di massimo lungo il ramo di iperbole $xy=+sqrt15$ contenuta nel settore del insieme V contenuto nel I quadrante e i punti di minimo lungo il ramo di iperbole $xy=-sqrt15$ contenuta nel settore del insieme V contenuto nel II quadrante
"gio73":
non ho capito il bump
L'ho premuto per sbaglio
e non sapevo nemmeno a cosa servisse il pulsante
Eh, adesso te la vedi tu con Trump e Kim, bisogna stare attenti ai pulsanti al giorno d'oggi ... 
@alex
hai una fissazione con gli ordigni ultimamente?
viewtopic.php?f=36&t=187906&p=8348798#p8348798
hai una fissazione con gli ordigni ultimamente?
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Eh, no, come puoi vedere io "avverto" di fare attenzione ... 
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