Studio di funzioni definite implicitamente

[acerrarcro]

Buongiorno a tutti,
Mi è stato assegnato questo esercizio

Verificare che l'insieme E = { (x,y)$inRR^2 : e^(x^2+2y)+5y-2x^2+1=0$ }
coincide con il grafico di una funzione reale di variabile reale. Studiare l’andamento
di tale funzione e tracciarne un diagramma qualitativo (insieme di definizione,
limiti alla frontiera, segno, crescere e decrescere, eventuali asintoti

io ho calcolato $(delF)/(dely) = 2e^(x^2+2y)+5$ che è sempre >0 quindi $AA$ x è definita implicitamente una funzione
y =y(x) da F(x,y) = $e^(x^2+2y)+5y-2x^2+1$

ho hanche visto che F(x,1) = $e^(x^2+2)+4-2x^2$ che è sempre > 0 quindi y(x) < 1 per la continuità di F

calcolando $(delF)/(delx) = 2e^(x^2+2y)-4x$ il segno dipende sia da x che da y quindi no riesco a ricavare il segno di y'(x)

Qualcuno mi può aiutare?

[Quinzio]

"acerrarcro":Buongiorno a tutti,
Mi è stato assegnato questo esercizio

Verificare che l'insieme E = { (x,y)$inRR^2 : e^(x^2+2y)+5y-2x^2+1=0$ }
coincide con il grafico di una funzione reale di variabile reale. Studiare l’andamento
di tale funzione e tracciarne un diagramma qualitativo (insieme di definizione,
limiti alla frontiera, segno, crescere e decrescere, eventuali asintoti

io ho calcolato $(delF)/(dely) = 2e^(x^2+2y)+5$ che è sempre >0 quindi $AA$ x è definita implicitamente una funzione
y =y(x) da F(x,y) = $e^(x^2+2y)+5y-2x^2+1$

ho hanche visto che F(x,1) = $e^(x^2+2)+4-2x^2$ che è sempre > 0 quindi y(x) < 1 per la continuità di F

calcolando $(delF)/(delx) = 2e^(x^2+2y)-4x$ il segno dipende sia da x che da y quindi no riesco a ricavare il segno di y'(x)

Qualcuno mi può aiutare?

C'è un errorino:
$(delF)/(delx) = 2e^(x^2+2y)-4x$
corretto:
$(delF)/(delx) = 2xe^(x^2+2y)-4x = 2x(e^(x^2+2y)- 2)$

quindi in x=0 è ha un max/min, anche perchè è funzione pari, per cui in x=0 deve essere orizzontale.
Poi per il resto a sensazione la derivata non si annulla più.


Con |x| molto grande mi viene da dire che l'esponenziale diventa predominante sui termini "semplici" per cui deve essere una cosa del tipo $e^{x^2+2y} = A$ dove A è un numero "piccolo". Quindi si può pensare che si comporti come un $x^2+2y=A'$ cioè una parabola discendente. Però queste sono solo idee mie.....

[acerrarcro]

Grazie per la correzione
comunque $(delF)/(delx)$ si annulla per $2y=-x^2+ln(2)$, ma a priori no so se quei valori soddifano y = y(x) e quindi se considerarli. Penso anchio che si comporti come una parabola discendente ma sarebbe bello provarlo