Studio di funzioni
Ciao a tutti,
trovo un'enorme difficoltà nello studio completo di questa funzione, in particolare quando studio il segno di $f(x)$ e di $f'(x)$. La funzione in questione è:
$f(x)=(\frac {1}{6}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2})\log x-\frac{5}{36}x^{3}+\frac{5}{4}x^{2}-\sin x$
Spero mi possiate aiutare. Non ho proprio la più pallida idea di come risolverlo!!
Grazie a tutti
trovo un'enorme difficoltà nello studio completo di questa funzione, in particolare quando studio il segno di $f(x)$ e di $f'(x)$. La funzione in questione è:
$f(x)=(\frac {1}{6}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2})\log x-\frac{5}{36}x^{3}+\frac{5}{4}x^{2}-\sin x$
Spero mi possiate aiutare. Non ho proprio la più pallida idea di come risolverlo!!
Grazie a tutti
Risposte
A occhio, direi che soluzioni elementari non ce ne sono, nel senso che non c'è un procedimento analitico elementare che permetta di risolvere esattamente le disequazioni [tex]$f(x)\geq 0$[/tex] e [tex]$f^\prime (x)\geq 0$[/tex].
Si deve andare avanti "a occhio" (o "a naso", che dir si voglia) basandosi su altre considerazioni (per esempio, sul segno dei limiti, su un'analisi attenta dell'ordine d'infinitesimo, etc...).
Dove l'hai preso questo simpaticissimo esercizio?
Si deve andare avanti "a occhio" (o "a naso", che dir si voglia) basandosi su altre considerazioni (per esempio, sul segno dei limiti, su un'analisi attenta dell'ordine d'infinitesimo, etc...).
Dove l'hai preso questo simpaticissimo esercizio?
E' un tema d'esame
"Esame" di che?
Esame di analisi matematica I
Di rado si studiano funzioni di questo tipo. Onestamente non se ne vede nemmeno la necessità.
A meno che, con qualche trucchetto, si possa scoprire qualcosa di veramente significativo a livello didattico.
Sei sicuro di dover fare lo studio completo?
A meno che, con qualche trucchetto, si possa scoprire qualcosa di veramente significativo a livello didattico.
Sei sicuro di dover fare lo studio completo?
Vi riporto l'intero esercizio:
Si consideri la seguente funzione:
$f(x)=(\frac {1}{6}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2})\log x-\frac{5}{36}x^{3}+\frac{5}{4}x^{2}-\sin x$
Si risponda alle seguenti domande:
1. dove f è definita, continua?
2. dove f è funzione derivabile? Calcolare f'.
3. dove f' è funzione derivabile? Calcolare f''.
4. calcolare i limiti al bordo dell'insiema di definizione di f, f'.
5. studiare il segno di f''. Dove f è convessa? Ci sono dei flessi?
6. studiare il segno di f'. Ci sono massimi o minimi relativi? Sono in punti di ascissa maggiore di 1? Sono anche assoluti?
7. si tracci il grafico di f.
8. discutere per ogni valore di $y\in \mathbb{R}$, il numero delle soluzioni (rispetto ad x) dell'equazione f(x)=y.
Sapete una cosa? Non so da dove iniziare!
Si consideri la seguente funzione:
$f(x)=(\frac {1}{6}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2})\log x-\frac{5}{36}x^{3}+\frac{5}{4}x^{2}-\sin x$
Si risponda alle seguenti domande:
1. dove f è definita, continua?
2. dove f è funzione derivabile? Calcolare f'.
3. dove f' è funzione derivabile? Calcolare f''.
4. calcolare i limiti al bordo dell'insiema di definizione di f, f'.
5. studiare il segno di f''. Dove f è convessa? Ci sono dei flessi?
6. studiare il segno di f'. Ci sono massimi o minimi relativi? Sono in punti di ascissa maggiore di 1? Sono anche assoluti?
7. si tracci il grafico di f.
8. discutere per ogni valore di $y\in \mathbb{R}$, il numero delle soluzioni (rispetto ad x) dell'equazione f(x)=y.
Sapete una cosa? Non so da dove iniziare!
Beh, io comincerei dal punto 1)...
Intanto non è proprio il classico studio di funzione. Vengono poste domande circostanziate.
Sicuramente le prime 4 non sono compromesse dalla "bruttezza" della funzione. Alle altre ci pensiamo dopo.
Il dominio è x>0, con derivate continue di ogni ordine in tutto il dominio. Se fai il calcolo delle due derivate si può procedere.
Sicuramente le prime 4 non sono compromesse dalla "bruttezza" della funzione. Alle altre ci pensiamo dopo.
Il dominio è x>0, con derivate continue di ogni ordine in tutto il dominio. Se fai il calcolo delle due derivate si può procedere.
Si, difatti sono riuscita a determinare solo il dominio, oltre ovviamente alle derivate. Ma non riesco a studiare il segno.
Cioè non riesco ad ottenere una funzione scritta in modo semplice da poter studiare.
SONO IN CRISI
Cioè non riesco ad ottenere una funzione scritta in modo semplice da poter studiare.
SONO IN CRISI
Non è un caso ti chieda stranamente di studiare prima il segno della derivata seconda.
La derivata seconda non è così impossibile.
La puoi scrivere?
La derivata seconda non è così impossibile.
La puoi scrivere?
Il testo ti fa domande a "rovescio", prima chiede di studiare il segno della derivata seconda e i limiti, poi quello della derivata prima. Significa che dal comportamento della funzione agli estremi del dominio e dal segno della derivata seconda devi poter dedurre il comportamento della derivata prima e poi da questo anche quello della funzione.
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