Studio di funzione $y=(x^2)/(1+x^2)$

[indovina]

$y=(x^2)/(1+x^2)$

Dominio:
per ogni $x$ appartenente ad $RR$

Segno di $f$:
$(x^2)/(1+x^2)>0$
$x^2>0$ (maggiore uguale a $0$) per ogni $x$ appartenente ad $RR$
$1+x^2>0$ per ogni $x$ appartenente ad $RR$

Limiti-asintoti:
$x->+oo$ $f(x)=1$
$x->-oo$ $f(x)=1$

Derivata prima:
$y'=(2x(1+x^2)-2x^3)/(1+x^2)^2=(2x^3)/(1+x^2)^2$

Punti critici:
$f'(x)=0$
$(2x^3)/(1+x^2)^2=0$
$x=0$ dunque $y=0$

Crescenza-decrescenza
$(2x^3)/(1+x^2)^2>0$ (compreso l'uguale)
$2x^3>0$
$x>0$
mentre
(1+x^2)^2>0 per ogni $x$ appartenente ad $RR$
$[0;+oo)$

Derivata seconda:
$y''=(6x^2(1+x^2)^2-8x^4(1+x^2))/((1+x^2)^2)$

$y''=(6x^8-8x^6+4x^4+6x^2)/(1+x^2)^4$

mi risulta difficile risolvere il numeratore, usando un programma ho visto che la concavità per $x>0$ è è rivolta verso il basso
e che $y=0$ è un flesso tangente orizzontale.

E' una funzione simmetrica rispetta all'origine, quindi il grafico che faccio nel primo quadrante, lo ribalto nel secondo quadrante.

cosa è che manca secondo voi?

[Blackorgasm]

se non dico una bischerata è sbagliata la derivata prima, rimane $2x$ e basta

[robbstark1]

Nello studio del segno, anche se è banale, alla fine devi scrivere il segno della funzione, non solo quello di numeratore e denominatore separatamente.

Derivata prima: $f'(x)=(2x(1+x^2)-2x^3)/((1+x^2)^2)=(2x)/((1+x^2)^2)$

(0,0) è un punto critico, ma massimo, minimo o flesso? (Lo si può vedere dallo studio del segno della derivata prima, oltre che se preferisci, dalla derivata seconda)

Avendo sbagliato la derivata prima, è da ricalcolare la derivata seconda.

La funzione non è simmetrica rispetto all'origine, caso mai rispetto all'asse $y$, è giusto che disegnandola nel primo quadrante la puoi ribaltare nel secondo.

[K.Lomax]

"robbstark":La funzione non è simmetrica rispetto all'origine, caso mai rispetto all'asse , è giusto che disegnandola nel primo quadrante la puoi ribaltare nel secondo

In soldoni, è una funzione pari

[indovina]

Allora riporto un pò di calcoli che ho fatto:
$y'=(2x)/(1+x^2)^2$

punti critici
$(0,0)$

crescenza-decrescenza
$2x>0$
$x>0$
$(0,+oo)$ crescente

derivata seconda
$y''=(2(1+x^2)^2-2x*2(1+x^2)*2x)/(1+x^2)^4$

$y''=(2(1+x^4+2x^2)-8x^2(1+x^2))/(1+x^2)^4$

$y''=(2+2x^4+4x^2-8x^2-8x^4)/(1+x^2)^4$

$y''=(-4x^2-6x^4+2)/(1+x^2)^4$

ricerca di eventuali flessi
$y''=0$

$6x^4+4x^2-2=0$

$3x^4+2x^2-1=0$

$x^2=t$

$3t^2+2t-1=0$

$t_1=-1$ che escludo perchè $x^2=-1$ mai verificato

$t_2=1/3$ ovvero $x=-(sqrt(3))/3$ $x=(sqrt(3))/3$

entrambi con $y=1/4$ (non sono sicuro)

concavità:
$x<-(sqrt(3))/3$ e $x>(sqrt(3))/3

e qui mi blocco

[blackbishop13]

"clever":entrambi con $y=1/4$ (non sono sicuro)

ma come "non sono sicuro"? devi soltanto valutare la tua funzione di partenza in $x=sqrt(3)/3$ e poi in $x=-sqrt(3)/3$ devi essere assolutamente certo, è la base di tutto l'esercizio valutare la tua funzione in un punto! sii più sicuro di ciò che fai.

poi cosa vuol dire

"clever":
concavità:
$x<-(sqrt(3))/3$ e $x>(sqrt(3))/3

e qui mi blocco

vuoi dire che nei valori che hai segnato è positiva o negativa?
detto questo non è che ti blocchi, è che l'esercizio è finito!

[indovina]

ahhh! ecco.
Dunque.
Io vado a mettere i punti che mi son trovato nel porre la derivata seconda uguale a $0$, nella funzione iniziale così da trovarmi le $y$
quindi i punti sono
$((sqrt(3))/3;1/4)$
$(-(sqrt(3))/3;1/4)$

per $(-oo;-(sqrt(3))/3)$ e $((sqrt(3))/3;3)$ concavità verso il basso

invece per $(-(sqrt(3))/3;(sqrt(3))/3)$ concavità verso l'alto.

Non so se ora forse va meglio..