Studio di funzione suggerimenti?
Consigli su come ricercare il dominio,segno e calcolo dei limiti di questa funzione $ln(sqrt((x-1)/(x+1)))$
Risposte
Molto volentieri! Allora per il dominio: il radicando dovrà essere maggiore o uguale a 0, il denominatore diverso da 0. Mi fai vedere i vari passaggi? Mi interessa!
Servirebbe un tentativo di risoluzione secondo il regolamento!
Comunque
\(\displaystyle \ln f(x) \) impone \(\displaystyle f(x)>0 \)
\(\displaystyle \sqrt{g(x)} \) impone \(\displaystyle g(x)\ge 0 \)
\(\displaystyle \frac{h(x)}{k(x)} \) impone \(\displaystyle k(x)\ne 0 \)
Quello che ti rimane quindi è di comporre i pezzi...
In particolare se \(\displaystyle f(x) = \sqrt{g(x)} \) in \(\displaystyle D(g) \) allora \(\displaystyle f(x)>0 \) se \(\displaystyle \sqrt{g(x)}\neq 0 \). Questo quindi vuol dire che bisogna porre la condizione \(\displaystyle g(x)>0 \) invece di \(\displaystyle g(x)\ge 0 \).
Da qui in poi è semplice.
Comunque
\(\displaystyle \ln f(x) \) impone \(\displaystyle f(x)>0 \)
\(\displaystyle \sqrt{g(x)} \) impone \(\displaystyle g(x)\ge 0 \)
\(\displaystyle \frac{h(x)}{k(x)} \) impone \(\displaystyle k(x)\ne 0 \)
Quello che ti rimane quindi è di comporre i pezzi...
In particolare se \(\displaystyle f(x) = \sqrt{g(x)} \) in \(\displaystyle D(g) \) allora \(\displaystyle f(x)>0 \) se \(\displaystyle \sqrt{g(x)}\neq 0 \). Questo quindi vuol dire che bisogna porre la condizione \(\displaystyle g(x)>0 \) invece di \(\displaystyle g(x)\ge 0 \).
Da qui in poi è semplice.
"vict85":
Servirebbe un tentativo di risoluzione secondo il regolamento
Lo chiedi a me o a chi ha posto la domanda?
Per il dominio credo di farcela, per i limiti non so, dovrei provare, ma è meglio aspettare che NICK si faccia sentire.
Il dominio l'ho praticamente già scritto tutto io 
Per i limiti dovrei fare i calcoli ma non penso sia improponibili. Nel senso che la radice quadrata non crea problemi. L'unica cosa che va tenuto conto è il risultato di \(\lim_{x\to x_0} \frac{x-1}{x+1}\) che verrà \(0\), \(\infty\) o anche un valore \(y_0\) e quindi poi si deve sostituire il limite appropriato del logaritmo.
Per i limiti dovrei fare i calcoli ma non penso sia improponibili. Nel senso che la radice quadrata non crea problemi. L'unica cosa che va tenuto conto è il risultato di \(\lim_{x\to x_0} \frac{x-1}{x+1}\) che verrà \(0\), \(\infty\) o anche un valore \(y_0\) e quindi poi si deve sostituire il limite appropriato del logaritmo.
il dominio è:
$ sqrt ((x-1)/(x+1)) >0 $ per ogni x elemento di r poiche la radice è sempre positiva
$ (x-1)/(x+1)>0 $ per $ x>1 o x< -1 $
percui il dominio è D : $ ] -oo ; -1 1 ; +oo [ $
devi farti i limiti per x che tende a : 1;-1;+inf. ;-inf.
ps: correggetemi se sbaglio
$ sqrt ((x-1)/(x+1)) >0 $ per ogni x elemento di r poiche la radice è sempre positiva
$ (x-1)/(x+1)>0 $ per $ x>1 o x< -1 $
percui il dominio è D : $ ] -oo ; -1 1 ; +oo [ $
devi farti i limiti per x che tende a : 1;-1;+inf. ;-inf.
ps: correggetemi se sbaglio
Mi interesserebbe fare uno studio di funzione, vediamo come me la cavo:
Allora giacchè il radicando deve essere maggiore o uguale a 0, x può assumere tutti i valori negativi compresi tra $-oo$ e -1, -1 escluso perchè annullerebbe il denominatore, a questo intervallo (aperto, dico bene), ne dobbiamo unire un altro, infatti x può assumere tutti i valori maggiori o uguali a +1, in questo caso +1 compreso, infatti se sostituisco +1 ottengo la radice di 0 che fa 0, cioè la funzione incontra l'asse x, nel punto P(+1;0), ancora bene? Il limite non lo faccio perchè non mi serve, siete d'accordo?
Allora vediamo cosa succede se x si avvicina da sinistra a -1: il numeratore è un numero negativo poco poco più piccolo di -2, mentre il denominatore è un numero piccolissimo negativo, dunque il rapporto sarà un numero grandissimo positivo, la cui radice sarà un numero grandissimo e noi teniamo in considerazione solo la radice positiva. Dunque il limite per x che tende a -1 da sinistra è $+oo$.
Cosa ne dite, fin qui ci siamo?
Allora giacchè il radicando deve essere maggiore o uguale a 0, x può assumere tutti i valori negativi compresi tra $-oo$ e -1, -1 escluso perchè annullerebbe il denominatore, a questo intervallo (aperto, dico bene), ne dobbiamo unire un altro, infatti x può assumere tutti i valori maggiori o uguali a +1, in questo caso +1 compreso, infatti se sostituisco +1 ottengo la radice di 0 che fa 0, cioè la funzione incontra l'asse x, nel punto P(+1;0), ancora bene? Il limite non lo faccio perchè non mi serve, siete d'accordo?
Allora vediamo cosa succede se x si avvicina da sinistra a -1: il numeratore è un numero negativo poco poco più piccolo di -2, mentre il denominatore è un numero piccolissimo negativo, dunque il rapporto sarà un numero grandissimo positivo, la cui radice sarà un numero grandissimo e noi teniamo in considerazione solo la radice positiva. Dunque il limite per x che tende a -1 da sinistra è $+oo$.
Cosa ne dite, fin qui ci siamo?
"gio73":
Mi interesserebbe fare uno studio di funzione, vediamo come me la cavo:
Allora giacchè il radicando deve essere maggiore o uguale a 0, x può assumere tutti i valori negativi compresi tra $-oo$ e -1, -1 escluso perchè annullerebbe il denominatore, a questo intervallo (aperto, dico bene), ne dobbiamo unire un altro, infatti x può assumere tutti i valori maggiori o uguali a +1, in questo caso +1 compreso, infatti se sostituisco +1 ottengo la radice di 0 che fa 0, cioè la funzione incontra l'asse x, nel punto P(+1;0), ancora bene? Il limite non lo faccio perchè non mi serve, siete d'accordo?
Allora vediamo cosa succede se x si avvicina da sinistra a -1: il numeratore è un numero negativo poco poco più piccolo di -2, mentre il denominatore è un numero piccolissimo negativo, dunque il rapporto sarà un numero grandissimo positivo, la cui radice sarà un numero grandissimo e noi teniamo in considerazione solo la radice positiva. Dunque il limite per x che tende a -1 da sinistra è $+oo$.
Cosa ne dite, fin qui ci siamo?
Non è giusto dire che il limite per il punto di ascissa 1 non va calcolato,forse ti sei dimenticato che la radice è l'argomento della funzione logaritmo,che in 0+ va a $ -oo $ ...
Dunque il dominio risulta essere l'unione di due intervalli aperti,per ciò che ho detto qui sopra.
Il resto è tutto giusto.
"NICKS23":
Consigli su come ricercare il dominio,segno e calcolo dei limiti di questa funzione $ln(sqrt((x-1)/(x+1)))$
La funzione $f(x)=ln(sqrt((x-1)/(x+1)))$ è chiaramente dispari. Quindi un modo semplice di procedere è quello di studiarne l'andamento solo, per esempio, per $x>1$ e poi, per completarne lo studio, utilizzare il fatto che ha simmetria centrale intorno all'origine $O$.
"Serebella":
Non è giusto dire che il limite per il punto di ascissa 1 non va calcolato,forse ti sei dimenticato che la radice è l'argomento della funzione logaritmo,che in 0+ va a $ -oo $ ...
Dunque il dominio risulta essere l'unione di due intervalli aperti,per ciò che ho detto qui sopra.
Il resto è tutto giusto.
non mi ero accorta che davanti alla radice ci fosse ln... stavamo parlando di due funzioni diverse, chiedo scusa!
"gio73":
[quote="Serebella"]
Non è giusto dire che il limite per il punto di ascissa 1 non va calcolato,forse ti sei dimenticato che la radice è l'argomento della funzione logaritmo,che in 0+ va a $ -oo $ ...
Dunque il dominio risulta essere l'unione di due intervalli aperti,per ciò che ho detto qui sopra.
Il resto è tutto giusto.
non mi ero accorta che davanti alla radice ci fosse ln... stavamo parlando di due funzioni diverse, chiedo scusa![/quote]Correggendo quel passaggio puoi continuare tranquillamente,anzi lo studio diventa più interessante con ln davanti.Buon lavoro
grazie ma questo studio di funzione non è stato assegnato a me, ripeto la domanda l'ha fatta NICK, volevo solo fare un po' di esercizio...
"gio73":
grazie ma questo studio di funzione non è stato assegnato a me, ripeto la domanda l'ha fatta NICK, volevo solo fare un po' di esercizio...
non hai tutti i torti,avevo perso di vista di chi era il post!
Ringrazio tutti per aver partecipato alla discussione che non guasta mai 
Vi elenco i miei risultati:
1 Dominio:
$C.E$ $->$ $($ $-\infty$ $;$ $-1$ ) $U$ $($ $1;$ $+\infty$ )
2.Con il segno ho avuto problemi.Che significato devo dare
all'argomento del ln?:
$x-1>x+1$
Poi per il radicando vale:
$x>1$
$x>$ $-1$
$f(x)$ $!=$ $0$ $AA$ $x$ $in$ $RR$
3.Limiti
Operando con de L'Hopital:
$\lim_{x \to -\infty}f(x)=1/(x^2-1)=0$
$\lim_{x \to -1^-}f(x)=+\infty$
$\lim_{x \to 1^+}f(x)=-\infty$
$\lim_{x \to +\infty}f(x)=0$
Grazie per i futuri suggerimenti e sicure correzioni!
Vi elenco i miei risultati:
1 Dominio:
$C.E$ $->$ $($ $-\infty$ $;$ $-1$ ) $U$ $($ $1;$ $+\infty$ )
2.Con il segno ho avuto problemi.Che significato devo dare
all'argomento del ln?:
$x-1>x+1$
Poi per il radicando vale:
$x>1$
$x>$ $-1$
$f(x)$ $!=$ $0$ $AA$ $x$ $in$ $RR$
3.Limiti
Operando con de L'Hopital:
$\lim_{x \to -\infty}f(x)=1/(x^2-1)=0$
$\lim_{x \to -1^-}f(x)=+\infty$
$\lim_{x \to 1^+}f(x)=-\infty$
$\lim_{x \to +\infty}f(x)=0$
Grazie per i futuri suggerimenti e sicure correzioni!
Allora provo a dire come la ragionerei io, ma non ti fidare assolutamente (prima non sono neanche riuscita a leggere per intero la funzione...)
Dunque mi trovo di fronte a una funzione di funzione di funzione e ho già mal di testa!
Cominciamo da quella più interna: il rapporto tra due polinomi, ad occhio mi sembra che si tratti di una iperbole traslata, se non vado errato riconosco l'asintoto verticale in x=-1 e l'asintoto orizzontale y=+1
Poi facciamo agira la radice, che effetto ha?
Intanto scompare il tratto di funzione che si trova al di sotto dell'asse orizzontale, poi un po' si deforma, ma sostanzialmente da $-oo$ (dove il limite vale +1) a -1 (dove il limite vale $+oo$) cresce, poi ricomincia da x=+1 dove vale 0 e cresce (lentamente) fino a $+oo$ dove il limite vale +1
Ora deve ancora agire il logaritmo, che succede?
Per quanto riguarda il tratto nel II quadrante il logaritmo agisce su valori sempre maggiori di 1, di conseguenza i risultati saranno sempre positivi, a $-oo$ dove la funzione precedente tendeva a 1 quest'ultima tenderà a 0, per poi crescere fino a $+oo$ in corrispondenza di x=-1
passiamo al tratto nel I quadrante: il logaritmo agisce su un argomento compreso tra 0 e 1, come già fatto notare precedentemente, in corrispondenza di x=1 tenderà $-oo$, poi avendo un argomento minore di 1 otterremo valori sempre negativi, ma crescanti fino a tendere a 0 quando x tende all'infinito dove la funzione precedente tendeva a 1. A questo punto la funzione si trova nel IV quadrante.
Dunque mi trovo di fronte a una funzione di funzione di funzione e ho già mal di testa!
Cominciamo da quella più interna: il rapporto tra due polinomi, ad occhio mi sembra che si tratti di una iperbole traslata, se non vado errato riconosco l'asintoto verticale in x=-1 e l'asintoto orizzontale y=+1
Poi facciamo agira la radice, che effetto ha?
Intanto scompare il tratto di funzione che si trova al di sotto dell'asse orizzontale, poi un po' si deforma, ma sostanzialmente da $-oo$ (dove il limite vale +1) a -1 (dove il limite vale $+oo$) cresce, poi ricomincia da x=+1 dove vale 0 e cresce (lentamente) fino a $+oo$ dove il limite vale +1
Ora deve ancora agire il logaritmo, che succede?
Per quanto riguarda il tratto nel II quadrante il logaritmo agisce su valori sempre maggiori di 1, di conseguenza i risultati saranno sempre positivi, a $-oo$ dove la funzione precedente tendeva a 1 quest'ultima tenderà a 0, per poi crescere fino a $+oo$ in corrispondenza di x=-1
passiamo al tratto nel I quadrante: il logaritmo agisce su un argomento compreso tra 0 e 1, come già fatto notare precedentemente, in corrispondenza di x=1 tenderà $-oo$, poi avendo un argomento minore di 1 otterremo valori sempre negativi, ma crescanti fino a tendere a 0 quando x tende all'infinito dove la funzione precedente tendeva a 1. A questo punto la funzione si trova nel IV quadrante.
[quote=NICKS23]
$x>$ $-1$
Questa affermazione non mi convince... non dovrebbe essere minore di -1?
$x>$ $-1$
Questa affermazione non mi convince... non dovrebbe essere minore di -1?
La funzione $f(x)=ln(sqrt((x-1)/(x+1)))$ può essere riscritta come $f(x)=1/2ln((x-1)/(x+1))$.
Per quello che riguarda il segno si può ragionare così: se $x>0$, la frazione $(x-1)/(x+1)$ ha il numeratore minore di $x$ e il denominatore maggiore. Quindi il numeratore è minore del denominatore e la frazione è $<1$.
Di conseguenza, per $x>1$, $(x-1)/(x+1)<1$ e quindi $f(x)=1/2ln((x-1)/(x+1))$ è $<0$.
Poiché poi $f(x)$ è dispari, per $x<-1$ si ha che $f(x)>0$.
Per quello che riguarda il segno si può ragionare così: se $x>0$, la frazione $(x-1)/(x+1)$ ha il numeratore minore di $x$ e il denominatore maggiore. Quindi il numeratore è minore del denominatore e la frazione è $<1$.
Di conseguenza, per $x>1$, $(x-1)/(x+1)<1$ e quindi $f(x)=1/2ln((x-1)/(x+1))$ è $<0$.
Poiché poi $f(x)$ è dispari, per $x<-1$ si ha che $f(x)>0$.
Ho problemi anche con questa funzione della quale ho ricavato il suo possibile dominio ma il resto niente:
$ln(((sqrt(x^2+1))-1)/x)$
1.Dominio:
$D$ $=$ $(-(sqrt(e-1))$ ; $0$) $U$ $((sqrt(e-1))$ ; $+\infty$)
Ps.Mi è poco chiara la risoluzione del segno di $ln(sqrt((x-1)/(x+1)))$
$ln(((sqrt(x^2+1))-1)/x)$
1.Dominio:
$D$ $=$ $(-(sqrt(e-1))$ ; $0$) $U$ $((sqrt(e-1))$ ; $+\infty$)
Ps.Mi è poco chiara la risoluzione del segno di $ln(sqrt((x-1)/(x+1)))$
"NICKS23":
...
$ln(((sqrt(x^2+1))-1)/x)$
1.Dominio:
$D$ $=$ $(-(sqrt(e-1))$ ; $0$) $U$ $((sqrt(e-1))$ ; $+\infty$).....
$D=(0; +oo)$.
Altra funzione della quale non riesco a dare una lettura del segno:
$ln(x)/(1-x)$
1.Dominio:
$D={ x in RR: x>0, x!=1 }$
Grazie dell'aiuto.
$ln(x)/(1-x)$
1.Dominio:
$D={ x in RR: x>0, x!=1 }$
Grazie dell'aiuto.
Per quanto riguarda il dominio sono d'accordo.
Per il segno la ragionerei così: devo controllare il segno del denominatore e del numeratore e metterli a confronto, sei d'accordo?
Numeratore: negativo per x<1, positivo per x>1, 0 se x=1, ma qui la funzione non esiste giusto?
Denominatore: positivo se x<1, negativo per x>1
Allora se non vado errato, quando x<1 il numeratore è negativo e il denominatore positivo, dunque la funzione è negativa,
quando x>1 il numeratore è positivo e il denominatore negativo, dunque la funzione è negativa.
Secondo me la funzione è sempre negativa, ma ripeto la mia opinione non è un granchè! Dimmi cosa ne pensi!
Per il segno la ragionerei così: devo controllare il segno del denominatore e del numeratore e metterli a confronto, sei d'accordo?
Numeratore: negativo per x<1, positivo per x>1, 0 se x=1, ma qui la funzione non esiste giusto?
Denominatore: positivo se x<1, negativo per x>1
Allora se non vado errato, quando x<1 il numeratore è negativo e il denominatore positivo, dunque la funzione è negativa,
quando x>1 il numeratore è positivo e il denominatore negativo, dunque la funzione è negativa.
Secondo me la funzione è sempre negativa, ma ripeto la mia opinione non è un granchè! Dimmi cosa ne pensi!
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