Studio di funzione suggerimenti?
Consigli su come ricercare il dominio,segno e calcolo dei limiti di questa funzione $ln(sqrt((x-1)/(x+1)))$
Risposte
Io la trovo congrua alla soluzione.Grazie ancora.
Ti spiace se proviamo a fare i limiti, destro e sinistro, per x che tende a 1?
Secondo me valgono entrambi $-oo$, sei d'accordo?
Provo a spiegarti il ragionamento che ho fatto, dimmi se tisembra sensato:
allora quando x=1 ho la forma indeterminata 0/0. Ora mi chiedo se si avvicina più velocemente a 0 il numeratore o il denominatore.
a) se è più veloce il numeratore allora ho un numero piccolissimo, quasi zero, fratto un numero piccolissimo ma leggermente più grande, dunque ottengo come limite 0, giusto?
b) al contrario se il denominatore si avvicina più velocemente a 0 del numeratore allora il limite tende a $oo$, negativo nel nostro caso perchè sappiamo che la funzione è tutta negativa.
Allora avviciniamoci da sinistra a 1, cosa succede: il logaritmo si muove meno velocemente della retta, dunque il denominatore è più piccolo, molto più piccolo del numeratore, limite $oo$, e come abbiamo già spiegato negativo
Ora ci avviciniamo da destra, anche in questo caso il logaritmo è più lento della retta, di nuovo limite $oo$ e negativo.
La mia domanda è questa: quando per risolvere la forma indeterminata 0/0 facciamo la derivata di numeratore e denominatore a cui poi sostituiremo il valore di x per cui cerchiamo il limite, ci stiamo chiedendo effettivamente quale funzioni si avvicini più rapidamente (pendenza della tangente) a 0?
Secondo me valgono entrambi $-oo$, sei d'accordo?
Provo a spiegarti il ragionamento che ho fatto, dimmi se tisembra sensato:
allora quando x=1 ho la forma indeterminata 0/0. Ora mi chiedo se si avvicina più velocemente a 0 il numeratore o il denominatore.
a) se è più veloce il numeratore allora ho un numero piccolissimo, quasi zero, fratto un numero piccolissimo ma leggermente più grande, dunque ottengo come limite 0, giusto?
b) al contrario se il denominatore si avvicina più velocemente a 0 del numeratore allora il limite tende a $oo$, negativo nel nostro caso perchè sappiamo che la funzione è tutta negativa.
Allora avviciniamoci da sinistra a 1, cosa succede: il logaritmo si muove meno velocemente della retta, dunque il denominatore è più piccolo, molto più piccolo del numeratore, limite $oo$, e come abbiamo già spiegato negativo
Ora ci avviciniamo da destra, anche in questo caso il logaritmo è più lento della retta, di nuovo limite $oo$ e negativo.
La mia domanda è questa: quando per risolvere la forma indeterminata 0/0 facciamo la derivata di numeratore e denominatore a cui poi sostituiremo il valore di x per cui cerchiamo il limite, ci stiamo chiedendo effettivamente quale funzioni si avvicini più rapidamente (pendenza della tangente) a 0?
Ti consiglio di andare rivedere il confronto tra gli infinitesimi e infiniti : http://it.wikipedia.org/wiki/Stima_asintotica
e per quanto riguarda il teorema di de l'hopital : http://lnx.matematicamente.it/teoria/an ... opital.pdf
In questo caso per il lim di x che tende a 1 non ci sono asintoti.Spero di esserti stato utile.
e per quanto riguarda il teorema di de l'hopital : http://lnx.matematicamente.it/teoria/an ... opital.pdf
In questo caso per il lim di x che tende a 1 non ci sono asintoti.Spero di esserti stato utile.
mi dici che senso ha scomodare de l'Hopital se non hai una forma indeterminata $0/0$, $\infty/\infty$?
Per il resto (1° esercizio):
1) $D=(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$;
2) intersezioni: $\nexists$;
3) segno: $log(sqrt((x-1)/(x+1)))>0\rightarrow sqrt((x-1)/(x+1))>1\rightarrow (-2)/(x+1)>0$ quindi abbiamo che
$f(x)>0$ quando $x<-1$ e
$f(x)<0$ quando $x>$$-1$;
4) limiti:
$lim_{x->\pm\infty}f(x)=log1=0$
$lim_{x->-1^-}f(x)=+\infty$
$lim_{x->1^+}f(x)=-\infty$
5) derivata: $f'(x)= 1/(x^2-1)$, non ci sono max/min, funzione crescente in tutto il suo dominio
Aggiungo un grafico "home-made" della funzione:
Spero di essere stato chiaro
Per il resto (1° esercizio):
1) $D=(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$;
2) intersezioni: $\nexists$;
3) segno: $log(sqrt((x-1)/(x+1)))>0\rightarrow sqrt((x-1)/(x+1))>1\rightarrow (-2)/(x+1)>0$ quindi abbiamo che
$f(x)>0$ quando $x<-1$ e
$f(x)<0$ quando $x>$$-1$;
4) limiti:
$lim_{x->\pm\infty}f(x)=log1=0$
$lim_{x->-1^-}f(x)=+\infty$
$lim_{x->1^+}f(x)=-\infty$
5) derivata: $f'(x)= 1/(x^2-1)$, non ci sono max/min, funzione crescente in tutto il suo dominio
Aggiungo un grafico "home-made" della funzione:
Spero di essere stato chiaro
robe92 si stava parlando di questa funzione $ln(X)/(1-x)$ 
"NICKS23":
Ti consiglio di andare rivedere il confronto tra gli infinitesimi e infiniti : http://it.wikipedia.org/wiki/Stima_asintotica
e per quanto riguarda il teorema di de l'hopital : http://lnx.matematicamente.it/teoria/an ... opital.pdf
In questo caso per il lim di x che tende a 1 non ci sono asintoti.Spero di esserti stato utile.
Ti ringrazio, è evidente che devo riflettere e studiare ancora un po'!
ma poi quant'è che valeva quel limite?
per tornare sul segno io farei cosi:
$f(x)=(log(x))/(1-x)$
Segno: $f(x)>0$ quindi:
N: $log(x)>0$ quindi $x>1$
D:$1-x>0$ quindi $x<1$
La nostra funzione è definita su $(0,1)U(1,+infty)$ quindi dal prodotto dei segni dobbiamo cancellare tutto quello che sta a sinistra di -1 ed includere anche lo zero e ci rimane che la funzione è effettivamente negativa in tutto il suo Dominio
$lim_(x->0^+) (log(x))/(1-x) = -infty$
$lim_(x->1^-) (log(x))/(1-x)= [0/0]$ forma indeterminata quindi posso usare il teorema del marchese ( de l'hopital)
$lim_(x->1^-) (1/x)/-1=-1$
Vale lo stesso per $x->1^+$
Quindi la funzione dovrebbe essere continua in in $x=1$
$lim_(x->+infty) (log(x))/(1-x)=[(+infty)/(-infty)]$ Si dimostra che qualsiasi potenza del tipo $x^a$ con $a in RR$ tende più velocemente del logaritmo ad $infty$ quindi il limite ha come risultato 0.
Quindi la funzione ha asintoto verticale in $x=0$ ed orizzontale in $y=0$
Tutto questo dovrebbe essere giusto, ma è meglio se ricontrollate
$f(x)=(log(x))/(1-x)$
Segno: $f(x)>0$ quindi:
N: $log(x)>0$ quindi $x>1$
D:$1-x>0$ quindi $x<1$
La nostra funzione è definita su $(0,1)U(1,+infty)$ quindi dal prodotto dei segni dobbiamo cancellare tutto quello che sta a sinistra di -1 ed includere anche lo zero e ci rimane che la funzione è effettivamente negativa in tutto il suo Dominio
$lim_(x->0^+) (log(x))/(1-x) = -infty$
$lim_(x->1^-) (log(x))/(1-x)= [0/0]$ forma indeterminata quindi posso usare il teorema del marchese ( de l'hopital)
$lim_(x->1^-) (1/x)/-1=-1$
Vale lo stesso per $x->1^+$
Quindi la funzione dovrebbe essere continua in in $x=1$
$lim_(x->+infty) (log(x))/(1-x)=[(+infty)/(-infty)]$ Si dimostra che qualsiasi potenza del tipo $x^a$ con $a in RR$ tende più velocemente del logaritmo ad $infty$ quindi il limite ha come risultato 0.
Quindi la funzione ha asintoto verticale in $x=0$ ed orizzontale in $y=0$
Tutto questo dovrebbe essere giusto, ma è meglio se ricontrollate
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