Studio di funzione periodica
Ciao ragazzi. Stavo studiando la funzione $f(x)=log(sin(x)/(1+cos(x)))$.
Come faccio a stabilirne il periodo? E' vero che compaiono solo funzioni di periodo $2\pi$, ma c'è un quoziente, e non mi viene in mente un modo per calcolarne precisamente il periodo. Come posso fare? Posso ricondurla ad altre funzioni goniometriche e vederne il periodo?
Tipo:
$sin x /(1+cos x)=1/(1/sin x +cos x/sin x)= 1/(csc x + cotg x)$
Periodo$(csc x + cotg x)$$=2\pi$ , dunque è corretto affermare che la reciproca di $csc x + cotg x$ ha lo stesso periodo?
--> Se non è possibile rincondurle a funzioni trigonometriche di periodo noto, come si può procedere?
Come faccio a stabilirne il periodo? E' vero che compaiono solo funzioni di periodo $2\pi$, ma c'è un quoziente, e non mi viene in mente un modo per calcolarne precisamente il periodo. Come posso fare? Posso ricondurla ad altre funzioni goniometriche e vederne il periodo?
Tipo:
$sin x /(1+cos x)=1/(1/sin x +cos x/sin x)= 1/(csc x + cotg x)$
Periodo$(csc x + cotg x)$$=2\pi$ , dunque è corretto affermare che la reciproca di $csc x + cotg x$ ha lo stesso periodo?
--> Se non è possibile rincondurle a funzioni trigonometriche di periodo noto, come si può procedere?
Risposte
In generale, se hai [tex]f(x)[/tex] e vuoi stabilirne il periodo, devi cercare una [tex]T[/tex] tale che [tex]f(x+T)=f(x) \forall x[/tex].
In generale non è facilissimo, però se in questo caso osservi che ti si presenta
[tex]f(x) = \ln( \frac{ \sin(x)}{1 + \cos(x)}) \\
f(x + h) = \ln( \frac{ \sin(x + h)}{1 + \cos(x + h)})[/tex]
Da cui
[tex]f(x) = f(x + h)[/tex]
cioè
[tex]\ln( \frac{ \sin(x)}{1 + \cos(x)}) = \ln( \frac{ \sin(x + h)}{1 + \cos(x + h)})[/tex]
Che noti essere un'idendità per [tex]T = 2 \pi[/tex].
In caso contrario dovresti svolgere i conti, ma alla fine con seno e coseno ce la si cava abbastanza bene.
In generale non è facilissimo, però se in questo caso osservi che ti si presenta
[tex]f(x) = \ln( \frac{ \sin(x)}{1 + \cos(x)}) \\
f(x + h) = \ln( \frac{ \sin(x + h)}{1 + \cos(x + h)})[/tex]
Da cui
[tex]f(x) = f(x + h)[/tex]
cioè
[tex]\ln( \frac{ \sin(x)}{1 + \cos(x)}) = \ln( \frac{ \sin(x + h)}{1 + \cos(x + h)})[/tex]
Che noti essere un'idendità per [tex]T = 2 \pi[/tex].
In caso contrario dovresti svolgere i conti, ma alla fine con seno e coseno ce la si cava abbastanza bene.
Lo si può vedere anche tramite la poco nota identità:
$tg(x/2) = (sin(x))/(1 + cos(x))$ , $x != pi + 2 k pi$
$tg(x/2) = (sin(x))/(1 + cos(x))$ , $x != pi + 2 k pi$
@Seneca: vero, ma non sempre capitano casi così semplici 
Capito! Non ricordavo l'identità in effetti... Tuttavia, ciò che mi hai mostrato, raptorista, non dimostra solamente che la funzione si ripete ogni $2pi$, e che ci potrebbe essere un altro periodo "minimo" ? O sbaglio?
"_Matteo_C":
Capito! Non ricordavo l'identità in effetti... Tuttavia, ciò che mi hai mostrato, raptorista, non dimostra solamente che la funzione si ripete ogni $2pi$, e che ci potrebbe essere un altro periodo "minimo" ? O sbaglio?
Eh già. Dovresti fare un po' di calcoli:
$log( sin(x)/(1 + cos(x)) ) = log( sin(x + T)/(1 + cos(x + T)) )$
$sin(x)/(1 + cos(x)) = sin(x + T)/(1 + cos(x + T))$
E un buon modo per concludere è il seguente:
$tg(x/2) = tg(x/2 + T/2)$
$tg(alpha) = tg(beta)$ se e solo se $alpha = beta + k pi$, cioè
$x/2 = x/2 + T/2 + k pi$
$T = - 2 k pi$
Il periodo è $2 pi$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo