Studio di funzione ostico
Salve ragazzi, stavo studiando questa funzione:
$f(x) = arctan(x)/x$
Nei primi passi dello studio ho notato agevolmente che la funzione è pari e presenta limite tendente a 0 (per parità da destra e sinsitra) = 1.
I problemi sono arrivati studiando la sua derivata, ho ottenuto:
$f^{\prime}(x)=1/(x (1 + x^2)) - arctan(x)/x^2$
Che ho riportato a :
$f^{\prime}(x)=(1-xarctan(x)+arctan(x)/x)/(x^3+x)$
Ho studiato il segno del denominatore, in base al quale ho costruito (fantasiosamente) un probabile quadro dei segni per il numeratore tenendo conto della parità della funzione.
Non parliamo poi dello studio della derivata seconda, inavvicinabile.
Il risultato finale che ho ottenuto è esatto, ma voi nella mia situazione come vi sareste comportati?
Premetto che sono al primo anno ed il liceo classico mi ha lasciato enormi lacune per quanto riguarda trigonometria, vogliatemi perdonare se ho detto qualche baggianata.
Ciau
$f(x) = arctan(x)/x$
Nei primi passi dello studio ho notato agevolmente che la funzione è pari e presenta limite tendente a 0 (per parità da destra e sinsitra) = 1.
I problemi sono arrivati studiando la sua derivata, ho ottenuto:
$f^{\prime}(x)=1/(x (1 + x^2)) - arctan(x)/x^2$
Che ho riportato a :
$f^{\prime}(x)=(1-xarctan(x)+arctan(x)/x)/(x^3+x)$
Ho studiato il segno del denominatore, in base al quale ho costruito (fantasiosamente) un probabile quadro dei segni per il numeratore tenendo conto della parità della funzione.
Non parliamo poi dello studio della derivata seconda, inavvicinabile.
Il risultato finale che ho ottenuto è esatto, ma voi nella mia situazione come vi sareste comportati?
Premetto che sono al primo anno ed il liceo classico mi ha lasciato enormi lacune per quanto riguarda trigonometria, vogliatemi perdonare se ho detto qualche baggianata.
Ciau
Risposte
Ragazzi nessuno ha qualche consiglio da darmi?
Prima di tutto considererei il dominio che è $(-oo,0) U(0,+oo) $.
Poi calcolerei i limiti della funzione agli estremi del dominio e quindi per $ x rarr 0^(+) ; x rarr +oo $.
La parità della funzione fa il resto per i corrispondenti valori negativi.
La derivata la riscriverei così $ y'= [x-(1+x^2) arctg x]/[x^2(1+x^2)] $ .
Strudierei il segno del numeratore graficamente , plottando le due funzioni
$ x/(1+x^2) $ e $ arctgx $ : non è impossibile .
La derivata seconda la lascerei perdere, l'andamento è già sufficientemente determinato.
Poi calcolerei i limiti della funzione agli estremi del dominio e quindi per $ x rarr 0^(+) ; x rarr +oo $.
La parità della funzione fa il resto per i corrispondenti valori negativi.
La derivata la riscriverei così $ y'= [x-(1+x^2) arctg x]/[x^2(1+x^2)] $ .
Strudierei il segno del numeratore graficamente , plottando le due funzioni
$ x/(1+x^2) $ e $ arctgx $ : non è impossibile .
La derivata seconda la lascerei perdere, l'andamento è già sufficientemente determinato.
Ti ringrazio Camillo ! Avevo proprio bisogno di qualche consiglio 
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