Studio di funzione: Massimi e minimi vincolati

[Ulisse802.11]

Buongiorno, ho svariati problemi nello svolgimento di esercizi che coinvolgono questo argomento. Vi faccio un esempio: ho la funzione $ f(x,y)= x^2 +y $ e devo trovarne il massimo ed il minimo all'interno della restrizione $ D={[0,1]^2 - {(x,y) | 0<=x<=1 , x^2<=y<=x }} $ , ovvero un quadrato al quale viene tolta una porzione di superficie. Ovviamente se parametrizzo il quadrato e cerco quello che chiede la traccia, vengono fuori i due punti che vengono eliminati quando viene tolta la porzione di area al quadrato. Come si procede? Non ho assolutamente idea di come si possa andare avanti, grazie.

[donald_zeka]

SI procede come i qualsiasi altro esercizio su massimi e minimi vincolati

[Ulisse802.11]

"Vulplasir":SI procede come i qualsiasi altro esercizio su massimi e minimi vincolati

Grazie per il contributo molto significativo alla discussione. Se dai un'occhiata all'esempio contenuto nel post di apertura, noterai che i punti di minimo e di massimo del quadrato fanno parte della porzione di area eliminata e, dunque, i punti di interesse, per quanto riguarda l'insieme risultante, sono "spostati" rispetto a prima. Dato che non sembra sia chiaro, lo ribadisco: quello che vorrei mi venisse spiegato è come procedere, per cui sono alla ricerca di risposte concrete.

[gugo82]

Scusa, ma come vuoi che si faccia?
Hai detto da te che i punti stazionari non vanno considerati, perché non interni al dominio.
L'unica cosa che ti è rimasta da fare è controllare cosa accade sul bordo. Perciò, disegna il dominio, parametrizzane i tratti del bordo e fatti uno studio delle restrizioni di $f$ ai vari tratti.

[Ulisse802.11]

"gugo82":Scusa, ma come vuoi che si faccia?
Hai detto da te che i punti stazionari non vanno considerati, perché non interni al dominio.
L'unica cosa che ti è rimasta da fare è controllare cosa accade sul bordo. Perciò, disegna il dominio, parametrizzane i tratti del bordo e fatti uno studio delle restrizioni di $f$ ai vari tratti.

Ho dato un'occhiata preventiva all'interno dell'insieme più grande, ovvero il semplice quadrato, ed il gradiente non si annulla mai, per cui se non erro non ci sono punti di interesse all'interno. Parametrizzando il bordo del quadrato, i punti che mi vengono fuori sono (0,0) ed (1,1), che fanno parte dell'area da eliminare. Quello che non capisco è come trovare i punti di massimo e minimo nel nuovo insieme. Possibile che non riesca a farmi capire?

[anto_zoolander]

Ciao.
Chiaramente come hai detto il gradiente sul quadrato non si annulla mai nell'insieme, ma il quadrato è compatto quindi questo ci garantisce l'esistenza di massimi e minimi(che saranno sul bordo).

In questo caso l'insieme non è compatto, visto che non è chiuso, in quanto il punto $(1,1)$ è di aderenza ma non sta nell'insieme, quindi non è garantito che esistano massimi e minimi assoluti.
Penso che proprio non ammetta massimi e minimi, si potrebbe provare che l'insieme

$F={x^2+y in RR^2: (x,y) in A}$ ammette come $s u pF=2$

se ti poni sull'insieme $J={(1,t) in RR^2:t in [0,1)}$ puoi avvicinarti quanto vuoi al valore $2$ e lo stesso si può fare per l'estremo inferiore.

[donald_zeka]

Non è che hai scritto male l'esercizio? Forse era da togliere $x^2

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[Ulisse802.11]

"anto_zoolander":Ciao.
Chiaramente come hai detto il gradiente sul quadrato non si annulla mai nell'insieme, ma il quadrato è compatto quindi questo ci garantisce l'esistenza di massimi e minimi(che saranno sul bordo).

In questo caso l'insieme non è compatto, visto che non è chiuso, in quanto il punto $(1,1)$ è di aderenza ma non sta nell'insieme, quindi non è garantito che esistano massimi e minimi assoluti.
Penso che proprio non ammetta massimi e minimi, si potrebbe provare che l'insieme

$F={x^2+y in RR^2: (x,y) in A}$ ammette come $s u pF=2$

se ti poni sull'insieme $J={(1,t) in RR^2:t in [0,1)}$ puoi avvicinarti quanto vuoi al valore $2$ e lo stesso si può fare per l'estremo inferiore.

Ciao Anto, innanzitutto ti ringrazio per la risposta. Hai centrato il punto della situazione, il mio professore quando ha dato l'esercizio ci ha detto che massimo e minimo comunque ci sono, ma che si trovano "spostati" rispetto all'insieme rappresentato dal quadrato semplice. Mi sembra di aver capito che tu abbia inteso il senso della mia domanda è che tu sappia darne una risposta più che esaustiva. Pertanto ti chiedo scusa se sono poco addentrato nella disciplina, ma mi farebbe piacere che mi mostrassi nel dettaglio il tuo modo di ragionare, grazie.

"Vulplasir":Non è che hai scritto male l'esercizio? Forse era da togliere $ x^2

no, l'esercizio ci è stato dato così come l'ho scritto.

[donald_zeka]

Ma che vuol dire spostati o non spostati, o c'è o non c'è, Quando l'insieme è chiuso e limitato l'essitenza di massimo e minimo è assicurata, quando non lo è non è assicurata...questo dominio non è chiuso e limitato.

[anto_zoolander]

Io dubito fortemente che massimo e minimo ci possano essere, per un semplice motivo.
perchè dovrebbe significare che il valore $2$ dovrebbe stare nell'immagine ma l'unico punto in cui potrebbe fare $2$ è in $(1,1)$ che sta nel quadrato, visto che in genere $x=0,1 => y=0,1$ si deve avere che $xne0,1$ quindi significa che $0 0
Se inoltre esistesse il massimo in quell'insieme, dovrebbe esistere un punto per cui $f(x,y)=2$ altrimenti se il massimo fosse $M<2$ potremmo tranquillamente mostrare che esiste un elemento dell'insieme che cade in mezzo. Se $M>2$ allora il punto non può stare nell'insieme

quindi o Io e Vulplasir ci siamo drogati, o qualcosa non va il quello che ti ha detto il professore(se ti ha detto davvero che sono 'spostati')

[Ulisse802.11]

"anto_zoolander":Io dubito fortemente che massimo e minimo ci possano essere, per un semplice motivo.
perchè dovrebbe significare che il valore $2$ dovrebbe stare nell'immagine ma l'unico punto in cui potrebbe fare $2$ è in $(1,1)$ che sta nel quadrato, visto che in genere $x=0,1 => y=0,1$ si deve avere che $xne0,1$ quindi significa che $0 0
Se inoltre esistesse il massimo in quell'insieme, dovrebbe esistere un punto per cui $f(x,y)=2$ altrimenti se il massimo fosse $M<2$ potremmo tranquillamente mostrare che esiste un elemento dell'insieme che cade in mezzo. Se $M>2$ allora il punto non può stare nell'insieme

quindi o Io e Vulplasir ci siamo drogati, o qualcosa non va il quello che ti ha detto il professore(se ti ha detto davvero che sono 'spostati')

Ammetto che con l'ultima tua affermazione mi hai fatto quasi morir dal ridere Tornando seri, faccio una domanda che forse è stupida: se in un insieme il valore massimo che si può raggiungere è 2, ed il punto in cui questo avviene lo elimino, il massimo "si sposta" ad 1.99999 (o qualcosa del genere), no? A questo punto il problema diventa trovare il valore più vicino a quello che era, in precedenza, il massimo, no? Se non giusto, mi sembra un ragionamento coerente il mio. Voi che dite?

[anto_zoolander]

Penso che vulpla andrà in escandescenza

Ricordati che tra due numeri reali ne esiste sempre uno che casca in mezzo.
Questo significa che non puoi spostarti ‘pochissimo’ senza trovare nulla in mezzo, ma questa è più una lacuna da analisi 1.
Sull’insieme $J={(1,t) inRR^2:t in[0,1)}$ ti ci puoi avvicinare quanto vuoi a quel valore senza mai assumerlo, quindi puoi benissimo non avere il massimo.

L’insieme $[0,1]$ ha come massimo $1$ ma non appena glielo togli, il massimo lo perdi.

[Ulisse802.11]

"anto_zoolander":Penso che vulpla andrà in escandescenza

Ricordati che tra due numeri reali ne esiste sempre uno che casca in mezzo.
Questo significa che non puoi spostarti ‘pochissimo’ senza trovare nulla in mezzo, ma questa è più una lacuna da analisi 1.
Sull’insieme $J={(1,t) inRR^2:t in[0,1)}$ ti ci puoi avvicinare quanto vuoi a quel valore senza mai assumerlo, quindi puoi benissimo non avere il massimo.

L’insieme $[0,1]$ ha come massimo $1$ ma non appena glielo togli, il massimo lo perdi.

Capisco... Ti faccio un altro esempio con un altro esercizio:
$ T={(x,y) in R^2 | {(x^2 +y^2 >=1),((x+2)^2 + (y-2)^2 >=1), ((x-2)^2 + (y-2)^2 >=1), (x^2 + y^2 <=16) } $
T intersecato R^2\S, dove $ S={(x,y) | -3+2x^2 <=y<=-2+x^2} $ .
Trovare minimo e massimo della funzione $ f(x,y) = 10(x-2)^2 + 10(y-2)^2 +x $ .