Studio di funzione logaritmo con modulo

[ciruz86]

Ciao,
avrei bisogno di qualche indicazioni per lo studio di questa funzione:
$f(x)=log|2+log|x||-log|x|$

Vi pongo alcuni alcuni miei dubbi:
- la funzione mi sembra pari, per questo motivo posso togliere tutti i moduli (la funzione diventa $f(x)=log(2+log(x))-log(x)$)?
- il dominio va calcolato dopo aver tolto i moduli?
- il limite all'infinito della funzione è meno infinito perchè $f(x)=log(2+log(x))-log(x)=log((2+log(x))/x)$

Per ora posto questi, appena ho altri dubbi vi avviso
Grazie in anticipo

[gio73]

"ciruz86":Ciao,
avrei bisogno di qualche indicazioni per lo studio di questa funzione:
$f(x)=log|2+log|x||-log|x|$

Vi pongo alcuni alcuni miei dubbi:
- la funzione mi sembra pari, per questo motivo posso togliere tutti i moduli (la funzione diventa $f(x)=log(2+log(x))-log(x)$)?

mmm... ti dico quello che mi viene in mente, tu dimmi cosa ne pensi (posso sbagliare!).

La funzione è pari, cioè $f(x)=f(-x)$, sono d'accordo.
Sul togliere i moduli... ragionerei così: studio solo il ramo corrispondente a $x>0$, poi mi basta "specchiare la mia funzione. Se $x>0$, allora posso togliere i moduli $|x|$, ma non $|2+logx|$ in effetti posso avere dei valori di x positivi il cui logaritmo è minore di -2, o sbaglio?

[ciruz86]

è proprio questo il mio dubbio. Se io pongoo:
$2+log(x)>=0$ ottengo $x>=e^-2$. Questa soluzione poi la devo intersecare con $x>=0$? Se è così, il dominio è $x>=e^-2$ (ovviamente anche $x<=-e^-2$)

[gio73]

Anche io sono giunta alla tua stessa conclusione solo che l'argomento del logaritmo deve essere positivo quindi direi che $x>1/(e^2)$ enon $x>=1/(e^2)$.

[ciruz86]

Si giusto, errore di distrazione. Vediamo cosa dicono gli altri!

[gio73]

L'ho fatto anche io e ho corretto.

[ciruz86]

Il limite come l'ho impostato io è giusto?

Altro dubbio: per gli intervalli di monotonio calcolo la derivata sempre senza moduli?

[ciruz86]

Nessuna mi sa aiutare con gli altri dubbi?

[chiaraotta1]

Per lo studio della funzione
$f(x)=log|2+log|x||-log|x|$ ...

$f(-x)=log|2+log|-x||-log|-x|=log|2+log|x||-log|x|=f(x)$,
quindi la funzione è pari.

Per il dominio, gli argomenti dei logaritmi devono essere $>0$.
Quindi deve essere
${(|x|>0), (|2+log|x||>0):}->{(x!=0), (2+log|x|!=0):}->$
${(x!=0), (log|x|!=-2):}->{(x!=0), (|x|!=e^-2):}->{(x!=0), (x!=+-1/e^2):}$.

Poiché la funzione è pari, è sufficiente studiarla per $x>0$ e poi "riflettere" l'andamento trovato rispetto all'asse $y$, come dice gio73.
Conviene poi studiarla a tratti, nel senso che
$f(x)={(log(-2-logx)-logx if 0=1/e^2):}$.

$lim_(x->+oo)[log(2+logx)-logx]=lim_(x->+oo)log((2+logx)/x)=-oo$ perché l'argomento tende a $0$.

[gio73]

Ciao Chiara grazie per l'intervento,
ho infatti notato che basta escludere $x=+-1/(e^2)$ e $x=0$ per assicurarsi un argomento positivo del logaritmo, mentre io escludevo l'intervallo $[-1/(e^2); 1/(e^2)]$

[Riccardo Desimini]

"ciruz86":- il dominio va calcolato dopo aver tolto i moduli?

Secondo me conviene calcolarlo per primo (come effettivamente prescrive la procedura dello studio di funzione).

Come ha giustamente scritto chiaraotta, \( D_f = \mathbb{R} \setminus \big \{ -\frac{1}{e^2}, 0, \frac{1}{e^2} \big \} \).

Una volta che ti sei accorto che $ f $ è pari, quello che fai è considerare una sua restrizione all'insieme $ [0, +\infty) \cap D_f $, cioè consideri la funzione
\[ \tilde f : [0, +\infty) \cap D_f \rightarrow \mathbb{R} \]
In questo modo, dato che il dominio lo conosci già, hai una visione ben chiara di ciò che è la funzione che devi studiare. Da qui, poi, ti viene l'ottima idea che è venuta a chiaraotta: studiare $ \tilde f $ a tratti, così non devi considerare alcun valore assoluto (se invece non avessi avuto questa intuizione, avresti dovuto portarti dietro \( \vert 2 + \log x \vert \)).

Alla luce di quanto detto, la risposta alla domanda

"ciruz86":Per gli intervalli di monotonia calcolo la derivata sempre senza moduli?

è: studia la monotonia per ciascun intervallo che compone $ \tilde f $.

@chiaraotta:

"chiaraotta":$f(x)={(log(-2-logx)-logx if 0=1/e^2):}$.

Occhio: $ \frac{1}{e^2} \notin D_{\tilde f} $.