Studio di funzione logaritmica in valore assoluto

[phigreco1]

Sia $f(x)=|log^2(3-x)-log(3-x)|$

1. Determinare il dominio di f e i limiti agli estremi del dominio.
2. Calcolare la derivata di f , specificando gli eventuali punti di non derivabilità.
3. Determinare gli intervalli di monotonia di f e i suoi punti di massimo e di minimo.
4. Disegnare un grafico qualitativo di f

1) Dominio

$Dom(f)=(-oo,3)$

1.1) Essendo la funzione in valore assoluto, provo a spezzarla e vedere cosa succede:

Ma essendo:
$log^2(3-x)-log(3-x)>=0$

$log^2(3-x)>=log(3-x)$ una disuguaglianza sempre valida ed essendo sempre la funzione maggiore o, al più, uguale a 0; posso considerarla sempre come $log^2(3-x)-log(3-x)$ eliminando il valore assoluto

1.2) Limiti agli estremi del dominio:

$lim_(x->-oo) log^2(3-x)-log(3-x)$ raccolgo $log(3-x)$ e viene $+oo$ dunque non ci sono asintoti orizzontali

$lim_(x->3^-) log^2(3-x)-log(3-x)$ raccolgo $log(3-x)$ e viene $+oo$ dunque $x=3$ è un asintoto verticale
(Il limite a $3^+$ avrei dovuto farlo? )

Essendo una funzione logaritmica non dovrebbe avere asintoti obliqui in quanto verrebbe $mx=0$ e $q=+oo$

2)
$f'(x)={-2log(3-x)+1}/(3-x) = {2log(3-x)-1}/(x-3)$

Ma come e dove verifico la derivabilità? Cioè so che la funzione è continua nel dominio e dovrei fare solamente $lim_(x->x_0) f'(x_0)$ ma in genere l'$x_0$ lo prendo dai punti "dubbi" della funzione spezzata...qui come dovrei procedere? Ho sbagliato il modo di trattare la funzione?

3)
Numeratore$>=0$
$=>-2log(3-x)>=-1 => (3-x)^2<=3 => x^2-6x+(9-e)<=0 => x_(1,2)=3+-sqrt(9-9+e)$
$ => 3-sqrt(e)<=x<=3+sqrt(e)$

Denominatore $>0$
$x<3$

La funzione risulta:
Crescente in $-oo Decrescente in $3-sqrt(e)<=x<3 ^^ 3+sqrt(e)<=x<+oo$
$3-sqrt(e) ^^ 3+sqrt(e)$ saranno dei punti di massimo relativo (o assoluto? boh )

Mio) Controllare dove si annulla la funzione non fa mai male

$log^2(3-x)-log(3-x)=0 => log(3-x) (log(3-x)-1)=0$
Risolvo: $log(3-x)=0 => x=2 ^^ log(3-x)-1=0 => x=3-e$

Ovviamente essendo tutto un valore assoluto la funzione sta sempre sopra l'asse x

4) Grafico:

Ovviamente se tutto quello che ho fatto fosse giusto non avrei aperto il thread (rido per non piangere), il grafico che dovrebbe venir fuori non c'entra nulla con quello che ho scritto su....
Che errori commetto? Dove sbaglio? Avete suggerimenti, in generale, per funzioni di questo tipo (con moduli in modo particolare)? Qualche "raffinatezza" da consigliare?

PS:
Ci ho messo una vita per scrivere tutto, vi prego di aiutarmi. Grazie in anticipo.

[Lo_zio_Tom]

"phigreco":Sia $f(x)=|log^2(3-x)-log(3-x)|$

Ci ho messo una vita per scrivere tutto, vi prego di aiutarmi. Grazie in anticipo.

mo' la guardiamo

[Lo_zio_Tom]

"phigreco":
1.1) Essendo la funzione in valore assoluto, provo a spezzarla e vedere cosa succede:

Ma essendo:
$log^2(3-x)-log(3-x)>=0$

$log^2(3-x)>=log(3-x)$ una disuguaglianza sempre valida ed essendo sempre la funzione maggiore o, al più, uguale a 0; posso considerarla sempre come $log^2(3-x)-log(3-x)$ eliminando il valore assoluto

sei sicuro di ciò? Prova a prendere un valore a caso nell'intervallo $(3-e ; 2)$ e vedi cosa succede...

PS: i massimi e minimi che eventualmente troverai saranno sempre "relativi". Per trovare massimo e minimo assoluti devi disegnare il grafico della funzione e scegliere [se c'è] il valore massimo e/o minimo che la funzione assume su tutto il dominio.

[phigreco1]

stasera la rifaccio. Grazie mille

[Lo_zio_Tom]

"phigreco"::oops: stasera la rifaccio. Grazie mille

vorrei sapere se hai capito l'errore commesso e se sai come risolvere la disequazione....

[phigreco1]

L'errore sta nel fatto che ho sbagliato la valutazione della disuguaglianza al momento dello spezzare la funzione.

Avrei dovuto porre maggiore o uguale a 0 tutto ciò che sta all'interno del logaritmo, risolvere (e non valutare ad occhio) la disequazione e spezzarla negli intervalli ottenuti e in concordanza con il dominio, per poi procedere analizzando le due funzioni ottenute. O no?

[Lo_zio_Tom]

"phigreco":
Avrei dovuto porre maggiore o uguale a 0 tutto ciò che sta all'interno del logaritmo

Maggiore strettamente! e questo lo hai già fatto quando hai calcolato il dominio (e lo hai fatto bene).

"phigreco": risolvere (e non valutare ad occhio) la disequazione

vorrei sapere se sai come fare, altrimenti ti aiuto....

[phigreco1]

Quindi:

$log^2(3-x)-log(3-x)>0 => log(3-x) (log(3-x)-1)>0$

Risolvo:
1) $log(3-x)>0 => 3-x>1 => -x>1-3 => x<2$

2) $log(3-x)-1>0 => 3-x>e => x<3-e$

L'equazione sarà strettamente maggiore di 0 prima di $x=2$ e dopo $x=3-e$

Essendo il $Dom(f)=(-oo,3)$

$=>f(x)={(log^2(3-x)-log(3-x),if 2<=x<3),(log(3-x)-log^2(3-x), if x<3-e):}$

O no?
Quindi avrei da valutare in 2 derivabilità e continuità? Anzi, solo derivabilità perché la funzione è continua nel dominio.

[Lo_zio_Tom]

direi di no

[Lo_zio_Tom]

"phigreco":Quindi:

$log^2(3-x)-log(3-x)>0 => log(3-x) (log(3-x)-1)>0$

Risolvo:
1) $log(3-x)>0 => 3-x>1 => -x>1-3 => x<2$

2) $log(3-x)-1>0 => 3-x>e => x<3-e$

L'equazione sarà strettamente maggiore di 0 prima di $x=2$ e dopo $x=3-e$

Essendo il $Dom(f)=(-oo,3)$

$=>f(x)={(log^2(3-x)-log(3-x),if 2<=x<3),(log(3-x)-log^2(3-x), if x<3-e):}$

O no?
Quindi avrei da valutare in 2 derivabilità e continuità? Anzi, solo derivabilità perché la funzione è continua nel dominio.

Essendo il $Dom(f)=(-oo,3)$

$f(x)={(log^2(3-x)-log(3-x),if(-oo;3-e]uu [2;3)),(log(3-x)-log^2(3-x), if(3-e)

Cita

Segnala

[phigreco1]

"tommik":Essendo il $Dom(f)=(-oo,3)$

$f(x)={(log^2(3-x)-log(3-x),if(-oo;3-e]uu [2;3)),(log(3-x)-log^2(3-x), if(3-e)

Hai troppa ragione. tra un po' riprovo l'intero studio, se ho problemi li posto. Intanto, grazie mille.

[Lo_zio_Tom]

"phigreco":[quote="tommik"]intanto, grazie mille.

[/quote]

you're welcome!!

[phigreco1]

Missione compiuta

Ancora grazie @tommik, alla prossima