Studio di funzione logaritmica e primitiva su intervallo
Salve a tutti,
io ho una funzione:
\( f(x)=x ln(x^2) \)
devo disegnarne il grafico prestando particolare attenzione a descriverne il comportamento quando \( x\rightarrow 0 \)
mi sono calcolata il dominio, le varie intersezioni con gli assi, gli asintoti, la crescenza e decrescenza e la concavità.
Mi sono inoltre calcolata il limite sia da destra che da sinistra per \( x\rightarrow 0 \) della mia funzione e risulta:
\( \lim_{x\rightarrow 0+} f(x) =0 \)
\( \lim_{x\rightarrow 0-} f(x) =0 \)
dato che il mio dominio è: \( x\neq 0 \) vuol dire che ho un punto di discontinuità in 0?!
grazie a tutti per le eventuali risposte!
io ho una funzione:
\( f(x)=x ln(x^2) \)
devo disegnarne il grafico prestando particolare attenzione a descriverne il comportamento quando \( x\rightarrow 0 \)
mi sono calcolata il dominio, le varie intersezioni con gli assi, gli asintoti, la crescenza e decrescenza e la concavità.
Mi sono inoltre calcolata il limite sia da destra che da sinistra per \( x\rightarrow 0 \) della mia funzione e risulta:
\( \lim_{x\rightarrow 0+} f(x) =0 \)
\( \lim_{x\rightarrow 0-} f(x) =0 \)
dato che il mio dominio è: \( x\neq 0 \) vuol dire che ho un punto di discontinuità in 0?!
grazie a tutti per le eventuali risposte!
Risposte
"xplasticx":
dato che il mio dominio è: \( x\neq 0 \) vuol dire che ho un punto di discontinuità in 0?!
A voler essere ancora più tecnici - qualora ce ne fosse il bisogno$\text{}^{\text{ma anche no}}$ - sai anche che tipo di discontinuità è: esistono limiti destro e sinistro di tale punto e sono uguali (e nel punto la funzione non è definita).
non ne ho idea.. 
so che ci sono tre specie di discontinuità.. quella di prima specie so che si chiama discontinuità di tipo salto.. le altre due non so il nome preciso!
quella che riguarda questo esercizio dovrebbe essere la terza specie!
so che ci sono tre specie di discontinuità.. quella di prima specie so che si chiama discontinuità di tipo salto.. le altre due non so il nome preciso!
quella che riguarda questo esercizio dovrebbe essere la terza specie!
Posso chiederti un altra cosa?!
lo stesso esercizio mi chiede si la funzione \( f(x) \) possiede primitive su \( ]0,+\infty [ \)
per trovarle devo fare \( \int_{0}^{+\infty } f(x)\, dx \) ??
lo stesso esercizio mi chiede si la funzione \( f(x) \) possiede primitive su \( ]0,+\infty [ \)
per trovarle devo fare \( \int_{0}^{+\infty } f(x)\, dx \) ??
"xplasticx":
per trovarle devo fare \( \int_{0}^{+\infty } f(x)\, dx \) ??
Non credo...
Se ti si chiede se la funzione possiede primitive, certamente se ne può calcolare qualcuna, però la tua richiesta è teorica. Scavando nei cassetti polverosi della memoria - andando in un corso di analisi I fatto un po' (eufemismo) maluccio per quanto riguarda l'integrabilità - ricordo che esiste un teorema che dice che una funzione ammette (infinite) primitive in un intervallo chiuso se è continua in tale intervallo.
Il brutto viene ora e non è che mi ricordo molto la questione.
Ora, la teoria della misura mi dice come estendere questa definizione a $]0,+\infty[$ ma non ricordo con quale artificio si può fare una cosa del genere in Analisi I...
non saprei proprio che fare io!
e comunque non è detto che esista una primitiva.. mi è già successo di vedere questa domanda in un altro compito del mio professore e non sempre la primitiva c'era!
e comunque non è detto che esista una primitiva.. mi è già successo di vedere questa domanda in un altro compito del mio professore e non sempre la primitiva c'era!
Allora, iniziavo a rincretinirmi, ma ho ritrovato un po' di lucidità.
C'è un teorema - come detto - che dice che se $f$ è continua in $[a,b]$ allora ammette (infinite) primitive in tale intervallo e ok.
Il mio ragionamento era il seguente, ma non vale per l'Analisi I (oltre che inizio a dubitare che vale in generale).Comunque io considererei qualsiasi intervallo chiuso e limitato $[\frac{1}{n},n]$ sul quale senza dubbio vale il teorema appena citato. Tale teorema vale su ogni intervallo di questo tipo, quindi vale anche nell'unione (per ogni $n$) di tutti questi intervalli che dovrebbe essere $]0,+\infty[$, da cui si conclude che ci sono infinite primitive in $]0,+\infty[$.
Ora, però, questo è un trucchetto che in teoria della misura si utilizza per mostrare qualsiasi cosa, e come dicevo qualche ora fa nelle righe prima di questo edit, mi viene in mente solo questa come soluzione che però non è da Analisi I...
Comunque, a parte il giochetto sopra che non mi riporta molto, meglio che specifico qualcosa in cui sopra sono stato impreciso.
Dire che una funzione è integrabile non equivale a dire che ammette (infinite) primitive. Ora, se $f$ è continua in $[a,b]$ allora è integrabile e ammette (infinite) primitive: che è integrabile lo dice il teorema di Cantor e c'è un teorema - non so di chi - che dice che ammette (infinite) primitive.
Tuttavia quando "casca" la continuità ci sono vari casini:
- funzioni integrabili ma che non ammettono una primitiva
- funzioni non integrabili con una primitiva
Tuttavia nel tuo caso la funzione è continua in $]0,+\infty[$ e questi casini non si creano.
C'è un teorema - come detto - che dice che se $f$ è continua in $[a,b]$ allora ammette (infinite) primitive in tale intervallo e ok.
Il mio ragionamento era il seguente, ma non vale per l'Analisi I (oltre che inizio a dubitare che vale in generale).Comunque io considererei qualsiasi intervallo chiuso e limitato $[\frac{1}{n},n]$ sul quale senza dubbio vale il teorema appena citato. Tale teorema vale su ogni intervallo di questo tipo, quindi vale anche nell'unione (per ogni $n$) di tutti questi intervalli che dovrebbe essere $]0,+\infty[$, da cui si conclude che ci sono infinite primitive in $]0,+\infty[$.
Ora, però, questo è un trucchetto che in teoria della misura si utilizza per mostrare qualsiasi cosa, e come dicevo qualche ora fa nelle righe prima di questo edit, mi viene in mente solo questa come soluzione che però non è da Analisi I...
Comunque, a parte il giochetto sopra che non mi riporta molto, meglio che specifico qualcosa in cui sopra sono stato impreciso.
Dire che una funzione è integrabile non equivale a dire che ammette (infinite) primitive. Ora, se $f$ è continua in $[a,b]$ allora è integrabile e ammette (infinite) primitive: che è integrabile lo dice il teorema di Cantor e c'è un teorema - non so di chi - che dice che ammette (infinite) primitive.
Tuttavia quando "casca" la continuità ci sono vari casini:
- funzioni integrabili ma che non ammettono una primitiva
- funzioni non integrabili con una primitiva
Tuttavia nel tuo caso la funzione è continua in $]0,+\infty[$ e questi casini non si creano.
"xplasticx":
Posso chiederti un altra cosa?!
lo stesso esercizio mi chiede si la funzione \( f(x) \) possiede primitive su \( ]0,+\infty [ \)
per trovarle devo fare \( \int_{0}^{+\infty } f(x)\, dx \) ??
La butto li, magari sbaglio, attendo smentite da parte di ne sa più di me.
Puoi notare che in $I:=]0,+\infty[$ la tua funzione è continua ed è continua.
Dunque , puoi considerare se $a \in I$ , $F : I -> RR$ tale che $AA x \in I -> \int_a^x f(t)dt$ (funzione integrale). Quindi effettivamente una primitiva esiste ed è giustificata dal teorema fondamentale del calcolo integrale.
"Kashaman":
Dunque , puoi considerare se $a \in I$ , $F : I -> RR$ tale che $AA x \in I -> \int_a^x f(t)dt$ (funzione integrale). Quindi effettivamente una primitiva esiste ed è giustificata dal teorema fondamentale del calcolo integrale.
Non è molto differente dal mio ragionamento (anche se il mio è più confusionario...): tuttavia anche il teorema fondamentale del calcolo integrale vale per intervalli chiusi e limitati - ricordo - ed è la stessa cosa che ora sfugge anche a me.
No zero, a meno di sbagliarmi, il teorema vale su intervalli qualunque.
Riporto in stralcio il teorema e la dimostrazione che dispongo, in effetti dalla dimostrazione della chiusura e limitatezza non vi è traccia.
Teorema : Sia $f: I -> RR$ $I$ intervallo ed $f$ continua in $I$. E sia $c$ un elemento di $I$. detta $F: I -> RR$ l'applicazione tale che
$x-> \int_c^xf(t)dt$ è derivabile e $F'=f$ $AA x \in I$. (ometto la parte sulla lipschtzianeità)
dim
Voglio provare in buona sostanza che se $x_0 \in I => EE lim_{x->x_0} (F(x)-F(x_0))/(x-x_0)=f(x_0)$.
Sia $\epsilon >0$ , poiché $f$ è continua in $I$ so che $EE \delta >0$ tale che $AA x \in I , |x-x_0| < \delta => |f(x)-f(x_0)|< \epsilon$ (1)
Consideriamo ora gli $x \in I \\{x_0}$ tali che $|x-x_0| < \delta$.
E valutiamo $(F(x)-F(x_0))/(x-x_0)=${sfrutto un po le proprietà elementari degli integrali, quindi ometto passaggi ovvi} $=(\int_(x_0)^xf(t)dt)/(x-x_0)$
Per il teorema della media integrale ora so che $EE \alpha \in [x_0,x] t.c f(\alpha)= (\int_{x_0}^xf(t)dt)/(x-x_0)$
Ma allora risulta che
$| (F(x)-F(x_0))/(x-x_0) - f(x_0) | = | f(\alpha)-f(x_0)|$.
Poiché $\alpha \in [x_0,x]$ si ha che $AA x \in I \\{x_0}$ tali che $|x-x_0| < \delta => | \alpha -x_0| < \delta$ , per la (2) dunque si ha che $| f(\alpha) - f(x_0) | < \epsilon$ e cioè $ | (F(x)-F(x_0))/(x-x_0) - f(x_0) |<\epsilon$ , la tesi.
Di fatto, questo teorema ci dice che se una funzione è continua su di un intervallo allora ammette primitiva e una primitiva di quella funzione è data proprio da $F$.
Peccato che sia inutile se $f$ non è continua oppure non è definita su un intervallo, in quel caso, non saprei dir nulla (personalmente).
Riporto in stralcio il teorema e la dimostrazione che dispongo, in effetti dalla dimostrazione della chiusura e limitatezza non vi è traccia.
Teorema : Sia $f: I -> RR$ $I$ intervallo ed $f$ continua in $I$. E sia $c$ un elemento di $I$. detta $F: I -> RR$ l'applicazione tale che
$x-> \int_c^xf(t)dt$ è derivabile e $F'=f$ $AA x \in I$. (ometto la parte sulla lipschtzianeità)
dim
Voglio provare in buona sostanza che se $x_0 \in I => EE lim_{x->x_0} (F(x)-F(x_0))/(x-x_0)=f(x_0)$.
Sia $\epsilon >0$ , poiché $f$ è continua in $I$ so che $EE \delta >0$ tale che $AA x \in I , |x-x_0| < \delta => |f(x)-f(x_0)|< \epsilon$ (1)
Consideriamo ora gli $x \in I \\{x_0}$ tali che $|x-x_0| < \delta$.
E valutiamo $(F(x)-F(x_0))/(x-x_0)=${sfrutto un po le proprietà elementari degli integrali, quindi ometto passaggi ovvi} $=(\int_(x_0)^xf(t)dt)/(x-x_0)$
Per il teorema della media integrale ora so che $EE \alpha \in [x_0,x] t.c f(\alpha)= (\int_{x_0}^xf(t)dt)/(x-x_0)$
Ma allora risulta che
$| (F(x)-F(x_0))/(x-x_0) - f(x_0) | = | f(\alpha)-f(x_0)|$.
Poiché $\alpha \in [x_0,x]$ si ha che $AA x \in I \\{x_0}$ tali che $|x-x_0| < \delta => | \alpha -x_0| < \delta$ , per la (2) dunque si ha che $| f(\alpha) - f(x_0) | < \epsilon$ e cioè $ | (F(x)-F(x_0))/(x-x_0) - f(x_0) |<\epsilon$ , la tesi.
Di fatto, questo teorema ci dice che se una funzione è continua su di un intervallo allora ammette primitiva e una primitiva di quella funzione è data proprio da $F$.
Peccato che sia inutile se $f$ non è continua oppure non è definita su un intervallo, in quel caso, non saprei dir nulla (personalmente).
"Kashaman":
No zero, a meno di sbagliarmi, il teorema vale su intervalli qualunque.
Ottimo, se vale allora stiamo apposto: come ho detto, ho scavato nei ricordi quindi potevo tranquillamente sbagliarmi (com'è successo
).Non l'avevo citato proprio perché ricordavo di questo fatto su chiusura e limitatezza dell'intervallo in questione, ma allora meglio così.
scusate se vi interrompo..
io non ci sto capendo piu nulla.. quindi che devo fare?!
io non ci sto capendo piu nulla.. quindi che devo fare?!
hai fatto il teorema fondamentale del calcolo integrale?
si..
Semplicemente come ti ho detto. La tua $f$ su $I=]0,+\infty[$ soddisfa le ipotesi del teorema e quindi ammette primitiva e una sua primitiva è data $\int_a^x t ln(t^2) dt$ ad esempio puoi scegliere $a=1$ e una primitiva è $\int_1^x tln(t^2)$.(1)
Se proprio vuoi fare il figo, ti calcoli esplicitamente 1) in questo modo. Innanzi tutto nota che $\int lnx = lnx(x-1)$
e quindi $F(X)= \int_1^x t ln(t^2) dt = 1/2\int_1^x 2t ln(t^2)${integrali immediati}$=1/2[ln(t^2)(t^2-1)]^x_1 = ${torricelli} $=ln(x^2)(x^2-1) - ln1(1-1)=ln(x^2)(x^2-1)$
Ora sai che $f$ è definita su di un intervallo, quindi se $G$ è un'altra primitiva di $f$ si ha che $F-G=c \in RR$.
Pertanto l'insieme delle primitive di quella funzione è dato da $\int x ln(x^2) = ln(x^2)(x^2-1) + c $ dove $c $ è una costante.
Osservazione :
Hai potuto fare tutto questo ambaradan perché la tua f è continua, quindi su ogni intervallo di tipo $[a,x] sube I$ è $R$ integrabile e quindi esiste l'integrale di Riemann $\int _{[a,x]] f(t)dt$ (cioè l'integrale indefinito $\int_1^x$)
Se proprio vuoi fare il figo, ti calcoli esplicitamente 1) in questo modo. Innanzi tutto nota che $\int lnx = lnx(x-1)$
e quindi $F(X)= \int_1^x t ln(t^2) dt = 1/2\int_1^x 2t ln(t^2)${integrali immediati}$=1/2[ln(t^2)(t^2-1)]^x_1 = ${torricelli} $=ln(x^2)(x^2-1) - ln1(1-1)=ln(x^2)(x^2-1)$
Ora sai che $f$ è definita su di un intervallo, quindi se $G$ è un'altra primitiva di $f$ si ha che $F-G=c \in RR$.
Pertanto l'insieme delle primitive di quella funzione è dato da $\int x ln(x^2) = ln(x^2)(x^2-1) + c $ dove $c $ è una costante.
Osservazione :
Hai potuto fare tutto questo ambaradan perché la tua f è continua, quindi su ogni intervallo di tipo $[a,x] sube I$ è $R$ integrabile e quindi esiste l'integrale di Riemann $\int _{[a,x]] f(t)dt$ (cioè l'integrale indefinito $\int_1^x$)
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