Studio di funzione $ log ((1+|x|)/(1-|x|))
Ciao a tutti spero riusciate ad aiutarmi, ho fatto lo studio di questa funzione ma sinceramente mi ritrovo delle incoerenze riguardo la crescenza e decrescenza della funzione.
Svolgimento:
$ f(x)= log ((1+|x|)/(1-|x|))
$ fI(x)=log ((1+x)/(1-x)) per x>=0
$ fII(x)=log ((1-x)/(1+x)) per x<0
il dominio sara' per fI(x):
$x!=1$ per il denominatore (1+x)/(1-x)
$ (-10)
ne risulta $(0
il dominio sara' per fII(x):
$x!=-1 $per il denominatore $(1-x)/(1+x)
$ (-10)
quindi: $ (-1
Intersezioni con gli assi:
$log ((1+x)/(1-x))=0 <=> (1+x)/(1-x)=1 <=> x= 0
$log ((1-x)/(1+x)) <=> (1-x)/(1+x)=1 <=> x= 0
Comportamento agli estremi:
$limx->1^- fI(x)= +oo
$limx->-1^- fI(x)= +oo
Derivate
$fI'(x)= (1/((1+x)/(1-x)))*((1-x+1+x)/(1-x)^2)=((1-x)/(1+x))*(2)/(x^2-2x+1)=(2-2x)/(x^3-x^2-x+1)
studiamo ora la derivata prima
$ 2-2x>=0 x<1
$x^3-x^-x+1>=0
$=x(x^2-x-1)>-1 =>
$x>=-1
$x^2-x-1=>x_1<=(1-sqrt(5))/2 ; x_2>=(1+sqrt(5))/2
intersecando le soluzioni posso dire che :
per 0
ma in realta la funzione e' crescente, sapete dirmi che errore ho fatto?
grazie mille
[img]http://www.mathway.com/graph_image.aspx?p=y=log%28%28%281+|x|%29/%281-|x|%29%29%29?p=500?p=500?p=False?p=False?p=False?p=False?p=False?p=False?p=True?p=True?p=?p=?p=?p=?p=4[/img]
scusate non riesco a fa visualizzare il grafico della funzione
Svolgimento:
$ f(x)= log ((1+|x|)/(1-|x|))
$ fI(x)=log ((1+x)/(1-x)) per x>=0
$ fII(x)=log ((1-x)/(1+x)) per x<0
il dominio sara' per fI(x):
$x!=1$ per il denominatore (1+x)/(1-x)
$ (-1
ne risulta $(0
il dominio sara' per fII(x):
$x!=-1 $per il denominatore $(1-x)/(1+x)
$ (-1
quindi: $ (-1
Intersezioni con gli assi:
$log ((1+x)/(1-x))=0 <=> (1+x)/(1-x)=1 <=> x= 0
$log ((1-x)/(1+x)) <=> (1-x)/(1+x)=1 <=> x= 0
Comportamento agli estremi:
$limx->1^- fI(x)= +oo
$limx->-1^- fI(x)= +oo
Derivate
$fI'(x)= (1/((1+x)/(1-x)))*((1-x+1+x)/(1-x)^2)=((1-x)/(1+x))*(2)/(x^2-2x+1)=(2-2x)/(x^3-x^2-x+1)
studiamo ora la derivata prima
$ 2-2x>=0 x<1
$x^3-x^-x+1>=0
$=x(x^2-x-1)>-1 =>
$x>=-1
$x^2-x-1=>x_1<=(1-sqrt(5))/2 ; x_2>=(1+sqrt(5))/2
intersecando le soluzioni posso dire che :
per 0
ma in realta la funzione e' crescente, sapete dirmi che errore ho fatto?
grazie mille
[img]http://www.mathway.com/graph_image.aspx?p=y=log%28%28%281+|x|%29/%281-|x|%29%29%29?p=500?p=500?p=False?p=False?p=False?p=False?p=False?p=False?p=True?p=True?p=?p=?p=?p=?p=4[/img]
scusate non riesco a fa visualizzare il grafico della funzione
Risposte
Intanto c'è un errore nel dominio della $f_I (x)$ che è $0<=x<1$
Per quanto riguarda la derivata
da questo punto passerei a $f_I' (x)=((1-x)/(1+x))*(2)/(1-x)^2=2/(1-x^2)$, la semplificazione ti evita gli errori di calcolo che hai fatto dopo
Per quanto riguarda la derivata
"method_nfb":
Derivate
$fI'(x)= (1/((1+x)/(1-x)))*((1-x+1+x)/(1-x)^2)$
da questo punto passerei a $f_I' (x)=((1-x)/(1+x))*(2)/(1-x)^2=2/(1-x^2)$, la semplificazione ti evita gli errori di calcolo che hai fatto dopo
"@melia":
Intanto c'è un errore nel dominio della $f_I (x)$ che è $0<=x<1$
Per quanto riguarda la derivata
[quote="method_nfb"]
Derivate
$fI'(x)= (1/((1+x)/(1-x)))*((1-x+1+x)/(1-x)^2)$
da questo punto passerei a $f_I' (x)=((1-x)/(1+x))*(2)/(1-x)^2=2/(1-x^2)$, la semplificazione ti evita gli errori di calcolo che hai fatto dopo[/quote]
amelia scusa ma non riesco a capire bene la semplificazione...mi spieghi i passaggi perpiacere?:)
Ho semplicemente semplificato $1-x$ con il fattore uguale a denominatore, la cosiddetta semplificazione in croce delle moltiplicazione.
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