Studio di funzione - Intersezione con l'asse x
Ciao a tutti!
Sto svolgendo lo studio della seguente funzione : $f(x)=e-xln^2(|x|)$, ma sto avendo difficoltà nel trovare eventuali punti dove $f(x)=0$.
Il dominio della funzione è $Dom(f)=\mathbb{R}-\{0\}$.
Di seguito riporto il procedimento per la risoluzione di $e-xln^2(|x|)=0$
$\{(x>0),(e-xln^2(x)=0):} \cup \{(x<0),(e+xln^2(-x)=0):} $
$\{(x>0),(xln^2(x)=e):} \cup \{(x<0),(xln^2(-x)=-e):} $
Arrivato a questo punto non sono in grado di procedere in quanto non saprei come "isolare" la x.
Per puro caso ho provato a calcolare $f(e)$ ed ho scoperto che $x=e \implies f(x)=0$, ma mi piacerebbe capire come arrivarci risolvendo l'equazione.
Qualche suggerimento?
Sto svolgendo lo studio della seguente funzione : $f(x)=e-xln^2(|x|)$, ma sto avendo difficoltà nel trovare eventuali punti dove $f(x)=0$.
Il dominio della funzione è $Dom(f)=\mathbb{R}-\{0\}$.
Di seguito riporto il procedimento per la risoluzione di $e-xln^2(|x|)=0$
$\{(x>0),(e-xln^2(x)=0):} \cup \{(x<0),(e+xln^2(-x)=0):} $
$\{(x>0),(xln^2(x)=e):} \cup \{(x<0),(xln^2(-x)=-e):} $
Arrivato a questo punto non sono in grado di procedere in quanto non saprei come "isolare" la x.
Per puro caso ho provato a calcolare $f(e)$ ed ho scoperto che $x=e \implies f(x)=0$, ma mi piacerebbe capire come arrivarci risolvendo l'equazione.
Qualche suggerimento?
Risposte
Queste sono equazioni trascendenti e non si arriva mai ad esplicitare la $x$, ovvero a scrivere $x=...$.
Detto questo si puo' tentare di manipolare l'espressione per arrivare a qualcosa di facile, ad es.
$x \ln^2 x = e$
$(\sqrt x \ln x)(\sqrt x \ln x) = e$
$(\ln x^\sqrt x)(\ln x^\sqrt x) = e$
$(\ln x^\sqrt x)^2 = e$
$\ln x^\sqrt x = \sqrt e$
$ x^\sqrt x = e^\sqrt e$
da cui appare molto evidente che $x=e$ e' una soluzione.
Detto questo si puo' tentare di manipolare l'espressione per arrivare a qualcosa di facile, ad es.
$x \ln^2 x = e$
$(\sqrt x \ln x)(\sqrt x \ln x) = e$
$(\ln x^\sqrt x)(\ln x^\sqrt x) = e$
$(\ln x^\sqrt x)^2 = e$
$\ln x^\sqrt x = \sqrt e$
$ x^\sqrt x = e^\sqrt e$
da cui appare molto evidente che $x=e$ e' una soluzione.
Usualmente non ci arrivi, perché l'equazione non si risolve con le tecniche elementari che hai appreso a scuola.
Al fatto che $e$ sia (probabilmente) l'unica soluzione ci si arriva proprio studiando le proprietà della funzione che hai davanti (i.e., monotonia e/o convessità).
Al fatto che $e$ sia (probabilmente) l'unica soluzione ci si arriva proprio studiando le proprietà della funzione che hai davanti (i.e., monotonia e/o convessità).
"Quinzio":
Queste sono equazioni trascendenti e non si arriva mai ad esplicitare la $x$, ovvero a scrivere $x=...$.
Detto questo si puo' tentare di manipolare l'espressione per arrivare a qualcosa di facile, ad es.
$x \ln^2 x = e$
$(\sqrt x \ln x)(\sqrt x \ln x) = e$
$(\ln x^\sqrt x)(\ln x^\sqrt x) = e$
$(\ln x^\sqrt x)^2 = e$
$\ln x^\sqrt x = \sqrt e$
$ x^\sqrt x = e^\sqrt e$
da cui appare molto evidente che $x=e$ e' una soluzione.
Ciao @Quinzio, grazie per la risposta!
Dopo questo passaggio :
"Quinzio":
$(\ln x^\sqrt x)^2 = e$
non dovrebbe essere $\ln x^\sqrt x = \pm \sqrt{e}$ ?
"gugo82":
Usualmente non ci arrivi, perché l'equazione non si risolve con le tecniche elementari che hai appreso a scuola.
Al fatto che $e$ sia (probabilmente) l'unica soluzione ci si arriva proprio studiando le proprietà della funzione che hai davanti (i.e., monotonia e/o convessità).
Ciao @gugo82 grazie per aver risposto!
Non essendo riuscito ad individuare eventuali punti di intersezione con l'asse x e non essendo riuscito a studiare il segno della funzione ho comunque proseguito con lo scopo di ottenere più informazioni. Calcolando il limite per $x \to 0^+$ e il limite per $x \to +\infty$, che risultano rispettivamente $e$ e $-\infty$, ho avuto la certezza che nell'intervallo $(0, +\infty)$ ci sarebbe stato un punto in cui $f(x)=0$. Inoltre dallo studio della derivata prima ho scoperto che $x=1$ è un punto di massimo relativo e che da quel punto in poi la funzione decresce, ma nulla di più. Casualmente ho provato a verificare il valore di $f(e)$ ed è risultato $0$ per cui ho constatato che un punto di intersezione con l'asse delle x è $x=e$. Cos'altro potrebbe essere stato utile per individuare in maniera non casuale che $x=e$ è un punto di intersezione con l'asse x?
Ciao alfred douglas,
Per semplificare un po' le cose, avrei osservato subito che la funzione $g(x) := f(x) - e = - xln^2|x| $ è una funzione dispari e quindi è sufficiente studiarla per $x > 0 $, sbarazzandoci subito del valore assoluto. La funzione $f(x) $ non è altro che la funzione $g(x) $ traslata verso l'alto di $e$, e dato che $\lim_{x \to 0^+} g(x) = 0 \implies \lim_{x \to 0^+} f(x) = e$ e $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty $ passando da un valore positivo $e$ delle ordinate a $-\infty $ è chiaro che esiste almeno una intersezione con l'asse delle ascisse. Dallo studio del segno della derivata prima si ha:
$g'(x) = f'(x) = - ln x (2 + ln x) $
si ottiene che $f'(x) < 0 $ per $x < 1/e^2 $ e per $x > 1 $, $f'(x) \ge 0 $ per $1/e^2 \le x \le 1 $, sicché $f(x) $ ha un minimo nel punto $L(1/e^2, e - 4/e^2) $ ed un massimo nel punto $M(1, e) $. Dal punto di massimo in poi la funzione decresce sempre, quindi l'intersezione è unica e si trova senz'altro per $x > 1$
Facendo uso del metodo di Newton-Raphson per risolvere $f(x) = 0 $, per $x > 1 $ si può scrivere la relazione di ricorrenza seguente:
$x_{n + 1} = x_n - (f(x_n))/(f'(x_n)) = x_n + (e - x_n ln^2 x_n)/(ln(x_n)(2 + ln(x_n))) $
Partendo da $x_0 = 2 > 1 $ si ottiene:
$ x_{1} = x_0 + (e - x_0 ln^2 x_0)/(ln(x_0)(2 + ln(x_0))) = 2,94141 $
Quindi l'unica intersezione con l'asse delle ascisse si trova nell'intervallo $(1, 3)$.
Proseguendo si ottiene:
$ x_{2} = x_1 + (e - x_1 ln^2 x_1)/(ln(x_1)(2 + ln(x_1))) = 2,72902 $
$ x_{3} = x_2 + (e - x_2 ln^2 x_2)/(ln(x_2)(2 + ln(x_2))) = 2,71831 $
Come si può vedere, già alla terza iterazione si trova un valore di $x$ che differisce da $e$ dalla quarta cifra decimale ($31$ invece di $28$).
Per semplificare un po' le cose, avrei osservato subito che la funzione $g(x) := f(x) - e = - xln^2|x| $ è una funzione dispari e quindi è sufficiente studiarla per $x > 0 $, sbarazzandoci subito del valore assoluto. La funzione $f(x) $ non è altro che la funzione $g(x) $ traslata verso l'alto di $e$, e dato che $\lim_{x \to 0^+} g(x) = 0 \implies \lim_{x \to 0^+} f(x) = e$ e $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty $ passando da un valore positivo $e$ delle ordinate a $-\infty $ è chiaro che esiste almeno una intersezione con l'asse delle ascisse. Dallo studio del segno della derivata prima si ha:
$g'(x) = f'(x) = - ln x (2 + ln x) $
si ottiene che $f'(x) < 0 $ per $x < 1/e^2 $ e per $x > 1 $, $f'(x) \ge 0 $ per $1/e^2 \le x \le 1 $, sicché $f(x) $ ha un minimo nel punto $L(1/e^2, e - 4/e^2) $ ed un massimo nel punto $M(1, e) $. Dal punto di massimo in poi la funzione decresce sempre, quindi l'intersezione è unica e si trova senz'altro per $x > 1$
Facendo uso del metodo di Newton-Raphson per risolvere $f(x) = 0 $, per $x > 1 $ si può scrivere la relazione di ricorrenza seguente:
$x_{n + 1} = x_n - (f(x_n))/(f'(x_n)) = x_n + (e - x_n ln^2 x_n)/(ln(x_n)(2 + ln(x_n))) $
Partendo da $x_0 = 2 > 1 $ si ottiene:
$ x_{1} = x_0 + (e - x_0 ln^2 x_0)/(ln(x_0)(2 + ln(x_0))) = 2,94141 $
Quindi l'unica intersezione con l'asse delle ascisse si trova nell'intervallo $(1, 3)$.
Proseguendo si ottiene:
$ x_{2} = x_1 + (e - x_1 ln^2 x_1)/(ln(x_1)(2 + ln(x_1))) = 2,72902 $
$ x_{3} = x_2 + (e - x_2 ln^2 x_2)/(ln(x_2)(2 + ln(x_2))) = 2,71831 $
Come si può vedere, già alla terza iterazione si trova un valore di $x$ che differisce da $e$ dalla quarta cifra decimale ($31$ invece di $28$).
"alfred douglas":
Calcolando il limite per $x \to 0^+$ e il limite per $x \to +\infty$, che risultano rispettivamente $e$ e $-\infty$, ho avuto la certezza che nell'intervallo $(0, +\infty)$ ci sarebbe stato un punto in cui $f(x)=0$
Qui è vero perché $f$ è, ad esempio, derivabile in $]0,+\infty[$ e quindi anche continua; ma, in generale, è falso. Ad esempio la funzione:
$$h(x)=\begin{cases}e , \ \text{se} \ 0 < x \le 1 \\ -x \ \text{se} \ x>1 \end{cases}$$
è tale che:
$$\lim_{x \to 0^+} h(x)=e$$
$$\lim_{x \to +\infty} h(x)=-\infty$$
Ma $h(x) \ne 0$ per ogni $x\in ]0,+\infty[$. In generale, prima di poter dedurre che esiste uno zero dal fatto che in due estremi di un intervallo la funzione assume valori di segno discorde, devi accertarti che sia continua in tale intervallo. In casi più generali potresti dare una bella testata al muro
.
Ciao @Mephlip
Già, ahimè mi sono dimenticato di aggiungere questo dettaglio fondamentale.
Grazie per la precisazione!
"Mephlip":
In generale, prima di poter dedurre che esiste uno zero dal fatto che in due estremi di un intervallo la funzione assume valori di segno discorde, devi accertarti che sia continua in tale intervallo. In casi più generali potresti dare una bella testata al muro
Già, ahimè mi sono dimenticato di aggiungere questo dettaglio fondamentale.
Grazie per la precisazione!
Ciao @piloeffe
Grazie per la risposta!
Ottima osservazione, effettivamente in questo modo mi sarei semplificato di un bel po' lo studio di funzione. Purtroppo, come faccio spesso, sono partito di getto e non ho fatto alcuna considerazione iniziale sulla funzione. Anche durante la verifica della disparità di $f(x)$, potevo rendermi conto che senza quella "$e$" avrei ottenuto una funzione dispari, ma non ci avevo fatto proprio caso.
Non avevo mai sentito parlare di questo metodo. Ci darò sicuramente un'occhiata.
Grazie per la risposta!
"pilloeffe":
Per semplificare un po' le cose, avrei osservato subito che la funzione $g(x) := f(x) - e = - xln^2|x| $ è una funzione dispari e quindi è sufficiente studiarla per $x > 0 $, sbarazzandoci subito del valore assoluto.
Ottima osservazione, effettivamente in questo modo mi sarei semplificato di un bel po' lo studio di funzione. Purtroppo, come faccio spesso, sono partito di getto e non ho fatto alcuna considerazione iniziale sulla funzione. Anche durante la verifica della disparità di $f(x)$, potevo rendermi conto che senza quella "$e$" avrei ottenuto una funzione dispari, ma non ci avevo fatto proprio caso.
"pilloeffe":
Facendo uso del metodo di Newton-Raphson...
Non avevo mai sentito parlare di questo metodo. Ci darò sicuramente un'occhiata.
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