Studio di funzione integrale, non tornano i conti
Buongiorno, torno per chiedervi un consiglio sulla risoluzione del seguente esercizio:
Sia \(\displaystyle F(x)=20+\int_{x}^{x+20}{e}^{-{t}^{2}}dt, \forall x\in R \). Sia \(\displaystyle {x}_{M} \) l'unico punto di massimo della funzione \(\displaystyle F \); sia inoltre \(\displaystyle L=\lim_{x\rightarrow + \infty}F(x) \). Quanto vale \(\displaystyle 2L-{x}_{M} \)?
Il risultato, secondo il testo, è 50.
Vi riporto i miei passaggi:
per calcolare \(\displaystyle {x}_{M} \) calcolo la derivata prima (dal Teorema fondamentale del calcolo integrale ho che \(\displaystyle F'(x)=f(t) \)). Facilmente trovo che il punto di massimo assoluto della funzione \(\displaystyle {e}^{-{t}^{2}} \) è 1. Arrivando a L, per eseguirne il calcolo ho ragionato così: sapendo che una delle proprietà delle funzioni integrali è \(\displaystyle \int_{a}^{a}f(t)dt=0 \), attuando una semplice sosituzione ottengo \(\displaystyle \int_{+\infty}^{+\infty}f(t)dt=0 \); ricavo, di conseguenza, \(\displaystyle L=20 \).
Non tornano i conti, perché calcolando la consegna ho \(\displaystyle 2L-{x}_{M} \)=40-1=39.
Dove sto sbagliando?
Sia \(\displaystyle F(x)=20+\int_{x}^{x+20}{e}^{-{t}^{2}}dt, \forall x\in R \). Sia \(\displaystyle {x}_{M} \) l'unico punto di massimo della funzione \(\displaystyle F \); sia inoltre \(\displaystyle L=\lim_{x\rightarrow + \infty}F(x) \). Quanto vale \(\displaystyle 2L-{x}_{M} \)?
Il risultato, secondo il testo, è 50.
Vi riporto i miei passaggi:
per calcolare \(\displaystyle {x}_{M} \) calcolo la derivata prima (dal Teorema fondamentale del calcolo integrale ho che \(\displaystyle F'(x)=f(t) \)). Facilmente trovo che il punto di massimo assoluto della funzione \(\displaystyle {e}^{-{t}^{2}} \) è 1. Arrivando a L, per eseguirne il calcolo ho ragionato così: sapendo che una delle proprietà delle funzioni integrali è \(\displaystyle \int_{a}^{a}f(t)dt=0 \), attuando una semplice sosituzione ottengo \(\displaystyle \int_{+\infty}^{+\infty}f(t)dt=0 \); ricavo, di conseguenza, \(\displaystyle L=20 \).
Non tornano i conti, perché calcolando la consegna ho \(\displaystyle 2L-{x}_{M} \)=40-1=39.
Dove sto sbagliando?
Risposte
$x_m=-10$
infatti in corrispondenza di questo valore hai
$ int_(-10)^(10) e^(-t^2) dt $
che ti dà l'area massima in quanto la funzione $y=e^(-t^2)$ è pari ed ha il punto di massimo assoluto in $t=0$
infatti in corrispondenza di questo valore hai
$ int_(-10)^(10) e^(-t^2) dt $
che ti dà l'area massima in quanto la funzione $y=e^(-t^2)$ è pari ed ha il punto di massimo assoluto in $t=0$
hai
$ int_(-10)^(10) e^(-t^2) dt $
che ti dà l'area massima in quanto la funzione $y=e^(-t^2)$ è pari
Quindi hai ragionato in questo senso: se \(\displaystyle \int f(t)dt \) pari (\(\displaystyle t=0 \) quindi centrato in 0?), l'area massima si trova ponendo \(\displaystyle \int_{-a}^{a}f(t)dt \). Pertanto trovo il valore di \(\displaystyle x \) per il quale ottengo \(\displaystyle \int_{-a}^{a}f(t)dt \). Dico bene?
perfetto,hai colto in pieno il ragionamento,che magari ti potrà essere utile per qualche altro esercizio simile
Grazie infinite!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo