Studio di funzione integrale
Salve!
E' da davvero poco che ho a che fare con lo studio delle funzioni integrali, e avrei bisogno del vostro aiuto per capire se sto procedendo nel verso giusto e per risolvere un paio di dubbi
Data la funzione integrale:
$ F(x)=int_(0)^(x) (tlogt)/(sqrt(t)+1) dx $
determinare:
1) Insieme di definizione, di continuità, e di derivabilità di F
2) Insiemi di monotonia di F ed eventuali punti critici e di minimo o massimo relativi e assoluti
Trovo che:
1) Se pongo $ f(x)=(xlogx)/(sqrt(x)+1) $, il dominio di quest'ultima è $ x in (0, +oo) $ . Tuttavia $ F(x) $ esiste ed è finita anche in 0, in quanto $ F(0)=0 $ essendo i due estremi dell'integrale uguali. Allora l'insieme di definizione di $ F(x) $ è $ [0, +oo) $ . (Confermate? Se ho capito bene non devo vedere se esiste finito l'integrale in $ +oo $ , giusto?)
Per quanto riguarda l'insieme di continuità di F non so come procedere. Posso solo immaginare che questo sia $ [0, +oo) $ nuovamente, ma vorrei certezze e chiarimenti sul come determinarlo.
L'insieme di derivabilità, invece, è $ (0, +oo) $ , in quanto $ F'(x)=f(x) $, e il dominio di quest'ultima è proprio $ (0, +oo) $ .
2) Per risolverlo devo studiare la derivata prima della funzione, ovvero $ f(x) $. Dallo studio emerge che $ f(x) $ è negativa per $0< x<1 $, positiva in $x>1$, e che in $x=1$ è pari a 0. Segue che di $ F(x) $ è decrescente nel primo intervallo, crescente nel secondo, e che in 1 vi è un punto di minimo. Sorge la questione: è di minimo relativo o assoluto? Per scoprirlo dovrei sapere vale $ F(1) $ per confrontarlo con $ F(0) $, o sbaglio? Ma se così fosse, non avrei modo di venirne a capo... In ogni caso, una volta risolto questo dubbio, penso che la questione "punti critici" sia esaurita, no?
E questo è quanto... Grazie a chi vorrà aiutarmi ^^
E' da davvero poco che ho a che fare con lo studio delle funzioni integrali, e avrei bisogno del vostro aiuto per capire se sto procedendo nel verso giusto e per risolvere un paio di dubbi
Data la funzione integrale:
$ F(x)=int_(0)^(x) (tlogt)/(sqrt(t)+1) dx $
determinare:
1) Insieme di definizione, di continuità, e di derivabilità di F
2) Insiemi di monotonia di F ed eventuali punti critici e di minimo o massimo relativi e assoluti
Trovo che:
1) Se pongo $ f(x)=(xlogx)/(sqrt(x)+1) $, il dominio di quest'ultima è $ x in (0, +oo) $ . Tuttavia $ F(x) $ esiste ed è finita anche in 0, in quanto $ F(0)=0 $ essendo i due estremi dell'integrale uguali. Allora l'insieme di definizione di $ F(x) $ è $ [0, +oo) $ . (Confermate? Se ho capito bene non devo vedere se esiste finito l'integrale in $ +oo $ , giusto?)
Per quanto riguarda l'insieme di continuità di F non so come procedere. Posso solo immaginare che questo sia $ [0, +oo) $ nuovamente, ma vorrei certezze e chiarimenti sul come determinarlo.
L'insieme di derivabilità, invece, è $ (0, +oo) $ , in quanto $ F'(x)=f(x) $, e il dominio di quest'ultima è proprio $ (0, +oo) $ .
2) Per risolverlo devo studiare la derivata prima della funzione, ovvero $ f(x) $. Dallo studio emerge che $ f(x) $ è negativa per $0< x<1 $, positiva in $x>1$, e che in $x=1$ è pari a 0. Segue che di $ F(x) $ è decrescente nel primo intervallo, crescente nel secondo, e che in 1 vi è un punto di minimo. Sorge la questione: è di minimo relativo o assoluto? Per scoprirlo dovrei sapere vale $ F(1) $ per confrontarlo con $ F(0) $, o sbaglio? Ma se così fosse, non avrei modo di venirne a capo... In ogni caso, una volta risolto questo dubbio, penso che la questione "punti critici" sia esaurita, no?
E questo è quanto... Grazie a chi vorrà aiutarmi ^^
Risposte
Ciao gugo!
Ho dato ora un'occhiata, ma, da ciò che ho letto, è risolta solo la questione continuità: se ho capito bene, per trovare l'insieme di continuità, devo fare $ lim_(x -> 0^+) f(x) $ e $ lim_(x -> 0^-) f(x) $ : laddove il limite esiste ed è finito, la funzione è continua. Il primo viene 0, il secondo non si può fare in quanto il logaritmo non è definito a sinistra di 0. Ne va che l'insieme di continuità è $ (0, +oo) $, dico bene?
Per il resto, i dubbi rimangono, e vorrei in ogni caso avere conferma del corretto svolgimento dei vari punti: è il mio primo esercizio al riguardo, ne ho davvero bisogno
Ho dato ora un'occhiata, ma, da ciò che ho letto, è risolta solo la questione continuità: se ho capito bene, per trovare l'insieme di continuità, devo fare $ lim_(x -> 0^+) f(x) $ e $ lim_(x -> 0^-) f(x) $ : laddove il limite esiste ed è finito, la funzione è continua. Il primo viene 0, il secondo non si può fare in quanto il logaritmo non è definito a sinistra di 0. Ne va che l'insieme di continuità è $ (0, +oo) $, dico bene?
Per il resto, i dubbi rimangono, e vorrei in ogni caso avere conferma del corretto svolgimento dei vari punti: è il mio primo esercizio al riguardo, ne ho davvero bisogno
ciao, provo a risponderti io intanto
per quanto riguarda la continuità, secondo me la funzione è continua in 0: dato il dominio della funzione è ovvio che il limite sinistro non si possa fare;
secondo il tuo ragionamento la funzione $y= sqrtx $ non sarebbe continua in $x=0$
per $x>1$ o $x<1$ $F(x)>F(1)$
penso che ciò basti per dire che hai un punto di minimo assoluto,no?
per quanto riguarda la continuità, secondo me la funzione è continua in 0: dato il dominio della funzione è ovvio che il limite sinistro non si possa fare;
secondo il tuo ragionamento la funzione $y= sqrtx $ non sarebbe continua in $x=0$
per $x>1$ o $x<1$ $F(x)>F(1)$
penso che ciò basti per dire che hai un punto di minimo assoluto,no?
L'integrando $ f(x)=(xlogx)/(sqrt(x)+1) $ è definito e di classe $C^oo$ in $]0,+oo[$; inoltre esso è prolungabile con continuità su $0$ poiché $lim_(x -> 0^+) f(x) = 0$, sicché $f$ è integrabile su ogni intervallo compatto del tipo $[0,x]$ con $x >= 0$.
La funzione integrale $ F(x)=int_(0)^(x) (tlogt)/(sqrt(t)+1)" d"t $ è ben definita e continua in $[0,+oo[$ ed è indefinitamente derivabile in $]0,+oo[$.
Ovviamente $F(0)=0$; al limite a destra del dominio si ha:
$lim_(x -> +oo) F(x) = +oo$
perché $f(x) ~~ sqrt(x) log x$ per $x -> +oo$ (sicché $f$ non è impropriamente integrabile in $[0,+oo[$). D'altra parte:
$lim_(x -> +oo) (F(x))/x \stackrel{"H"}{=} lim_(x -> + oo) f(x) = +oo$,
quindi non c'è alcun asintoto obliquo a destra (e, vista la continuità, il diagramma di $F$ non ha alcun tipo di asintoto).
La derivata prima di $F$ è:
$F^\prime (x) = f(x)$ in $]0,+oo[$
e perciò $F^\prime (x) > 0$ [risp. $<0$, $=0$] se e solo se $x>1$ [risp. $0
$lim_(x -> 0^+) F^\prime (x) = lim_(x\to 0^+) f(x) = 0$
hai $F_+^\prime (0) = 0$ (quindi il diagramma di $F$ ha in $0$ un punto a tangente destra orizzontale).
Inoltre, esiste certamente un unico punto $xi > 1$ tale che $F(xi) = 0$.
Volendo si può andare a vedere cosa succede con la derivata seconda:
$F^{\prime \prime} (x) = f^\prime (x) = (2 (sqrt(x) + 1) + (sqrt(x) + 2) log(x))/(2 (sqrt(x) + 1)^2)$
e si vede che essa è certamente negativa intorno a $0$ e certamente positiva in un intervallo $]1-delta , +oo[$ (con $0 < delta < 1$ "piccolo").
Quindi la $F$ è concava intorno a $0$ e convessa in $[1-delta , +oo[$; probabilmente la situazione sarà che $F$ è concava in $[0,1-delta]$ ed il punto $1-delta$ sarà l'unico punto di flesso del diagramma.
La funzione integrale $ F(x)=int_(0)^(x) (tlogt)/(sqrt(t)+1)" d"t $ è ben definita e continua in $[0,+oo[$ ed è indefinitamente derivabile in $]0,+oo[$.
Ovviamente $F(0)=0$; al limite a destra del dominio si ha:
$lim_(x -> +oo) F(x) = +oo$
perché $f(x) ~~ sqrt(x) log x$ per $x -> +oo$ (sicché $f$ non è impropriamente integrabile in $[0,+oo[$). D'altra parte:
$lim_(x -> +oo) (F(x))/x \stackrel{"H"}{=} lim_(x -> + oo) f(x) = +oo$,
quindi non c'è alcun asintoto obliquo a destra (e, vista la continuità, il diagramma di $F$ non ha alcun tipo di asintoto).
La derivata prima di $F$ è:
$F^\prime (x) = f(x)$ in $]0,+oo[$
e perciò $F^\prime (x) > 0$ [risp. $<0$, $=0$] se e solo se $x>1$ [risp. $0
$lim_(x -> 0^+) F^\prime (x) = lim_(x\to 0^+) f(x) = 0$
hai $F_+^\prime (0) = 0$ (quindi il diagramma di $F$ ha in $0$ un punto a tangente destra orizzontale).
Inoltre, esiste certamente un unico punto $xi > 1$ tale che $F(xi) = 0$.
Volendo si può andare a vedere cosa succede con la derivata seconda:
$F^{\prime \prime} (x) = f^\prime (x) = (2 (sqrt(x) + 1) + (sqrt(x) + 2) log(x))/(2 (sqrt(x) + 1)^2)$
e si vede che essa è certamente negativa intorno a $0$ e certamente positiva in un intervallo $]1-delta , +oo[$ (con $0 < delta < 1$ "piccolo").
Quindi la $F$ è concava intorno a $0$ e convessa in $[1-delta , +oo[$; probabilmente la situazione sarà che $F$ è concava in $[0,1-delta]$ ed il punto $1-delta$ sarà l'unico punto di flesso del diagramma.
Innanzitutto grazie ad entrambi per le risposte
@abatefarina non hai tutti i torti, ma, avendo a che fare per la prima volta con una funzione integrale, è venuta meno ogni logica...
@gugo82 Ti ringrazio per lo studio dettagliato della funzione ^^
Ricapitolando: per vedere se una funzione integrale è continua in un punto $ x_0 $ , devo fare $ lim_(x -> x_(0^+)) f(x) $ (per la continuità a destra) (risp. $ lim_(x -> x_(0^-)) f(x)$ per la continuità a sinistra), e, se tale limite esiste ed è finito, allora ho continuità in quel punto, altrimenti no (a prescindere dal valore effettivo del limite). Giusto?
@abatefarina non hai tutti i torti, ma, avendo a che fare per la prima volta con una funzione integrale, è venuta meno ogni logica...
@gugo82 Ti ringrazio per lo studio dettagliato della funzione ^^
Ricapitolando: per vedere se una funzione integrale è continua in un punto $ x_0 $ , devo fare $ lim_(x -> x_(0^+)) f(x) $ (per la continuità a destra) (risp. $ lim_(x -> x_(0^-)) f(x)$ per la continuità a sinistra), e, se tale limite esiste ed è finito, allora ho continuità in quel punto, altrimenti no (a prescindere dal valore effettivo del limite). Giusto?
No.
E allora come determinare l'insieme di continuità di una funzione integrale?
Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.
Dunque non c'è alcuna differenza tra l'insieme di definizione e l'insieme di continuità di una funzione integrale?
Che vuol dire?
Fai un esempio.
Fai un esempio.
Scrivendo, mi rendo conto che effettivamente non avevo dato molto peso al fatto che, nel teorema fondamentale, f(t) debba essere anche limitata, non solo integrabile. Ti espongo comunque quanto ho concluso, con le dovute correzioni:
$ f(t) $ risulta integrabile in tutto il dominio di $ F(x) $, per la definizione stessa di dominio. Dal teorema fondamentale si ha che se $ f(t) $ è limitata e integrabile in $ [a,b] $ allora $ F(x) $ è continua in tale intervallo. Dato il dominio di $ F(x) $ mi basta quindi, per determinare l'insieme di continuità di $ F(x) $, verificare che $ f(t) $ sia lì limitata.
Si prenda la funzione con cui ho aperto la discussione: prima di tutto ne ho determinato il dominio, scoprendo che $ f(t) $ è integrabile in $ [0,+oo) $ . Ma allora sarà integrabile in qualunque intervallo $ [a,b] $ ivi compreso. Devo solo accertarmi che in tali intervalli sia limitata, e in particolare che lo sia a destra di 0, da qui la necessità di farne il limite: tale limite potrà anche risultare indeterminato, purché limitato, e ciò mi basterebbe per concluderne la continuità di $ F(x) $ in tutto il suo dominio.
C'è anche da dire però che, se tale limite dovesse risultare illimitato, il teorema fondamentale non potrebbe aiutarmi, e allora sì che sarei nei pasticci
Ragionamento corretto? O c'è qualcosa di sbagliato?
$ f(t) $ risulta integrabile in tutto il dominio di $ F(x) $, per la definizione stessa di dominio. Dal teorema fondamentale si ha che se $ f(t) $ è limitata e integrabile in $ [a,b] $ allora $ F(x) $ è continua in tale intervallo. Dato il dominio di $ F(x) $ mi basta quindi, per determinare l'insieme di continuità di $ F(x) $, verificare che $ f(t) $ sia lì limitata.
Si prenda la funzione con cui ho aperto la discussione: prima di tutto ne ho determinato il dominio, scoprendo che $ f(t) $ è integrabile in $ [0,+oo) $ . Ma allora sarà integrabile in qualunque intervallo $ [a,b] $ ivi compreso. Devo solo accertarmi che in tali intervalli sia limitata, e in particolare che lo sia a destra di 0, da qui la necessità di farne il limite: tale limite potrà anche risultare indeterminato, purché limitato, e ciò mi basterebbe per concluderne la continuità di $ F(x) $ in tutto il suo dominio.
C'è anche da dire però che, se tale limite dovesse risultare illimitato, il teorema fondamentale non potrebbe aiutarmi, e allora sì che sarei nei pasticci
Ragionamento corretto? O c'è qualcosa di sbagliato?
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