Studio di funzione in due variabili
Sia $f(x,y)={(|x|^alphaarctan(y),if x!=0),(0,if x=0):}$, qualcuno mi sa dire se queste cose sono giuste:
1) $f$ è continua se e solo se $alpha>=0$;
2) le derivate parziali di $f$ esistono per ogni $alphainRR$
3)$f$ è differenziabile se e solo se $alpha>=1$
(non sono sicuro di aver fatto bene)
1) $f$ è continua se e solo se $alpha>=0$;
2) le derivate parziali di $f$ esistono per ogni $alphainRR$
3)$f$ è differenziabile se e solo se $alpha>=1$
(non sono sicuro di aver fatto bene)
Risposte
Mi sembra tutto giusto.
"Mephlip":
Mi sembra tutto giusto.
Grazie
Siete sicuri che per $alpha=0$ la funzione sia continua?
.
Sì, è vero, per $\alpha=0$ la funzione è continua se e solo se $y=0$. Grazie per averlo notificato @melia e sellacollesella! E scusami andreadel1988 per l'errore.
Scusate me, volevo specificare nel punto $(0,0)$ tutte le condizioni che ho detto, non so perchè non l'ho scritto. In caso riscrivo correttamente il testo:
Sia $f(x,y)={(|x|^alphaarctan(y),if x!=0),(0,if x=0):}$, qualcuno mi sa dire se queste cose sono giuste:
1) $f$ è continua in $(0,0)$ se e solo se $alpha>=0$;
2) le derivate parziali di $f$ esistono in $(0,0)$ per ogni $alphainRR$;
3)$f$ è differenziabile in $(0,0)$ se e solo se $alpha>=1$;
Sia $f(x,y)={(|x|^alphaarctan(y),if x!=0),(0,if x=0):}$, qualcuno mi sa dire se queste cose sono giuste:
1) $f$ è continua in $(0,0)$ se e solo se $alpha>=0$;
2) le derivate parziali di $f$ esistono in $(0,0)$ per ogni $alphainRR$;
3)$f$ è differenziabile in $(0,0)$ se e solo se $alpha>=1$;
Niente, ho controllato le soluzioni $ f $ è differenziabile in $ (0,0) $ se e solo se $ alpha>0 $, peccato
Vero anche questo. Hai che $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0$ e $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$, quindi bisogna calcolare, se esiste,
$$\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)h-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)k}{\|(h,k)\|}=\lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{|h|^{\alpha}\arctan k}{\sqrt{h^2+k^2}}$$
E, effettivamente, dal fatto che $|\arctan u|\le |u|$ per ogni $u\in\mathbb{R}$ e che $\sqrt{a^2+b^2}\ge\sqrt{b^2}=|b|$, si ha:
$$0 \le \lim_{(h,k)\to (0,0)}\left|\frac{|h|^{\alpha}\arctan k}{\sqrt{h^2+k^2}}\right|=\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{|h|^{\alpha}|\arctan k|}{\sqrt{h^2+k^2}}$$
$$\le \lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{|h|^{\alpha} |k|}{|k|} = \lim_{(h,k)\to (0,0)} |h|^{\alpha}=0$$
E questo è vero per ogni $\alpha>0$. Per $\alpha=0$, non essendo $f$ continua in $(0,0)$, non può essere differenziabile in $(0,0)$.
Non so che conti ho fatto quel giorno, evidentemente ero ubriaco
. Scusa di nuovo.
$$\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)h-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)k}{\|(h,k)\|}=\lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{|h|^{\alpha}\arctan k}{\sqrt{h^2+k^2}}$$
E, effettivamente, dal fatto che $|\arctan u|\le |u|$ per ogni $u\in\mathbb{R}$ e che $\sqrt{a^2+b^2}\ge\sqrt{b^2}=|b|$, si ha:
$$0 \le \lim_{(h,k)\to (0,0)}\left|\frac{|h|^{\alpha}\arctan k}{\sqrt{h^2+k^2}}\right|=\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{|h|^{\alpha}|\arctan k|}{\sqrt{h^2+k^2}}$$
$$\le \lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{|h|^{\alpha} |k|}{|k|} = \lim_{(h,k)\to (0,0)} |h|^{\alpha}=0$$
E questo è vero per ogni $\alpha>0$. Per $\alpha=0$, non essendo $f$ continua in $(0,0)$, non può essere differenziabile in $(0,0)$.
Non so che conti ho fatto quel giorno, evidentemente ero ubriaco
. Scusa di nuovo.
"Mephlip":
Per $\alpha=0$, non essendo $f$ continua in $(0,0)$, non può essere differenziabile in $(0,0)$.
No no $f$ per $\alpha=0$ è continua in $(0,0)$, almeno questo lo azzeccato (ovvero per $alpha>=0$ è continua in $(0,0)$ e le derivate parziali esistono $AAalphainRR$) anche se non ho mostrato esplicitamente che per $alpha<0$ non è continua in $(0,0)$ (non ho avuto tempo di scriverlo) ma vabbe speriamo che ci passi sopra...
Ah ok, è cambiato il testo del problema anche per la continuità. Sì, concordo, è continua in $(0,0)$ per $\alpha=0$. Eh, tecnicamente andrebbe fatto vedere. Incrociamo le dita per te. 
"Mephlip":
Eh, tecnicamente andrebbe fatto vedere. Incrociamo le dita per te.
Lo so lo so (che il compito durava 1 ora e mezza erano altri due esericizi oltre questo che ho fatto praticamente perfetti se gli piace come ho spiegato) quindi non ho fatto bene in tempo a mostrarlo spero che mi tolga massimo 5 punti sto esercizio (valeva 10 punti) almeno 28 me lo porto a casa (era 33 il massimo)
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