Studio di funzione: il limite della derivata
Ciao a tutti.
Vorrei sapere un particolare di questo studio di funzione che ho fatto correttamente.
$f(x)=(x^2+12x)e^-(2/x)$
DOMINIO = $RR-{0}$ , f è continua nè pari nè dispari.
$lim_(x->+-oo)f(x) = x^2(1+o(1))$
f(x) non ha ne asintoti orizzonatli ne obliqui.
$lim_(x->0^+)f(x)= 0 lim_(x->0^-)f(x)= +oo$
Quindi $x=0$ è asintoto verticale
$f'(x) = (2e^-(2/x))/x (x^2 + 7x +12) >= 0 <=> x in (-4, -3) uu (0, +oo)$ (studio del segno della derivata prima)
Perciò posso dire che $x=-4$ è un punto di minimo relativo e $x=-3$ di massimo relativo.
Qui il prof però fa un calcolo di un limite di cui non mi spiego il significato.
Infatti scrive:
$lim_(x->0^+) f'(x) = ....$ e svolge il limite.
A cosa serve questo passaggio?? Io non ne vedo l'utilita!
Si vede a occhio che la funzione una volta scesa per l'asintoto verticale poi sale da 0 a + infinito!
Chi sa darmi una spiegazione?
Vorrei sapere un particolare di questo studio di funzione che ho fatto correttamente.
$f(x)=(x^2+12x)e^-(2/x)$
DOMINIO = $RR-{0}$ , f è continua nè pari nè dispari.
$lim_(x->+-oo)f(x) = x^2(1+o(1))$
f(x) non ha ne asintoti orizzonatli ne obliqui.
$lim_(x->0^+)f(x)= 0 lim_(x->0^-)f(x)= +oo$
Quindi $x=0$ è asintoto verticale
$f'(x) = (2e^-(2/x))/x (x^2 + 7x +12) >= 0 <=> x in (-4, -3) uu (0, +oo)$ (studio del segno della derivata prima)
Perciò posso dire che $x=-4$ è un punto di minimo relativo e $x=-3$ di massimo relativo.
Qui il prof però fa un calcolo di un limite di cui non mi spiego il significato.
Infatti scrive:
$lim_(x->0^+) f'(x) = ....$ e svolge il limite.
A cosa serve questo passaggio?? Io non ne vedo l'utilita!
Si vede a occhio che la funzione una volta scesa per l'asintoto verticale poi sale da 0 a + infinito!
Chi sa darmi una spiegazione?
Risposte
"Marix":
Qui il prof però fa un calcolo di un limite di cui non mi spiego il significato. Infatti scrive:
$lim_(x->0^+)f'(x)=...$
e svolge il limite. A cosa serve questo passaggio? Io non ne vedo l'utilita!
Per capire con quale pendenza partire quando $[x->0^+]$. Tra l'altro, a volte può risultare utile nel determinare un possibile flesso senza fare la derivata seconda.
"speculor":
[quote="Marix"]
Qui il prof però fa un calcolo di un limite di cui non mi spiego il significato. Infatti scrive:
$lim_(x->0^+)f'(x)=...$
e svolge il limite. A cosa serve questo passaggio? Io non ne vedo l'utilita!
Per capire con quale pendenza partire quando $[x->0^+]$. Tra l'altro, a volte può risultare utile nel determinare un possibile flesso senza fare la derivata seconda.[/quote]
Scusami, ma non ho capito bene!
In questo caso, questo limite fa zero, quindi come si comporta la funzione da 0 a +oo??
Devi partire con tangente orizzontale. Se, per fare un esempio, avessi un asintoto orizzontale per $[x->+oo]$, senza fare la derivata seconda saresti sicuro di avere almeno un flesso. In ogni modo, in questi casi è doveroso partire con la tangente corretta. Per esempio, nel caso di $[f(x)=sqrtx]$, partire con tangente verticale è un obbligo.
"speculor":
Devi partire con tangente orizzontale. Se, per fare un esempio, avessi un asintoto orizzontale per $[x->+oo]$, senza fare la derivata seconda saresti sicuro di avere almeno un flesso. In ogni modo, in questi casi è doveroso partire con la tangente corretta. Per esempio, nel caso di $[f(x)=sqrtx]$, partire con tangente verticale è un obbligo.
Quindi quel limite determina la convessità o concavità? Ma non dovrebbe essere determinata dalla derivata seconda?
Perchè il mio prof non calcola la derivata seconda ma solo quel limite della derivata prima!
Scusami sono di legno!
Certo, se devi partire con tangente orizzontale e la funzione è crescente, almeno localmente la funzione sarà convessa. Ovviamente, se vuoi determinare la convessità globalmente, devi fare la derivata seconda. In ogni modo, tutte le volte che la funzione deve "ripartire al finito" dopo un'interruzione, è prassi comune chiedere allo studente di calcolare il limite che tu hai proposto e di rispettarne il valore nel disegnare il grafico. Se quel limite vale $[1]$, devi partire con tangente parallela alla bisettrice primo e terzo quadrante, se quel limite vale $[2]$...
"speculor":
Certo, se devi partire con tangente orizzontale e la funzione è crescente, almeno localmente la funzione sarà convessa. Ovviamente, se vuoi determinare la convessità globalmente, devi fare la derivata seconda. In ogni modo, tutte le volte che la funzione deve "ripartire al finito" dopo un'interruzione, è prassi comune chiedere allo studente di calcolare il limite che tu hai proposto e di rispettarne il valore nel disegnare il grafico. Se quel limite vale $[1]$, devi partire con tangente parallela alla bisettrice primo e terzo quadrante, se quel limite vale $[2]$...
Adesso ho capito!!!
Quindi devo partire praticamente attaccato all'asse orizzontale dato che quel limite è zero, giusto??
"speculor":
:smt023
Non so come ringraziarti!!!
In effetti i miei grafici erano alquanto approssimativi!!
Grazie ancora
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