Studio di funzione gonometrica
Ciao a tutti,
Ho trovato difficoltà nello studio della funzione $f(x)=x-senx$ o meglio trovo diffcolta nello studio degli asintoti poichè non riesco a risolvere il $\lim_{x \to \+ infty}f(x)$ ma soprattutto la mia domanda è ha senso fare o parlare di limite $\lim_{x \to \+ infty} senx$?
Ho trovato difficoltà nello studio della funzione $f(x)=x-senx$ o meglio trovo diffcolta nello studio degli asintoti poichè non riesco a risolvere il $\lim_{x \to \+ infty}f(x)$ ma soprattutto la mia domanda è ha senso fare o parlare di limite $\lim_{x \to \+ infty} senx$?
Risposte
Il limite $\lim_{x\to\infty}sin\ x$ non esiste, perchè, come ben sai, la funzione $sin$ oscilla fra $-1$ e $1$.
Per quanto riguarda l'altro limite, $\lim_{x\to\infty}(x-sin\ x)$ esiste ed è uguale a $+\infty$, perchè quando sommi una funzione infinita ad una limitata ottieni una funzione infinita!
Attenzione che $\lim (f(x)+g(x))=\lim f(x)+ \lim g(x)$ se i due limiti $\lim f(x)$ e $\lim g(x)$ esistono.
E se non esiste $\lim f(x)$ o $\lim g(x)$, non è detto che non esista $\lim (f(x)+g(x))$, come per esempio nel tuo caso.
Per quanto riguarda l'altro limite, $\lim_{x\to\infty}(x-sin\ x)$ esiste ed è uguale a $+\infty$, perchè quando sommi una funzione infinita ad una limitata ottieni una funzione infinita!
Attenzione che $\lim (f(x)+g(x))=\lim f(x)+ \lim g(x)$ se i due limiti $\lim f(x)$ e $\lim g(x)$ esistono.
E se non esiste $\lim f(x)$ o $\lim g(x)$, non è detto che non esista $\lim (f(x)+g(x))$, come per esempio nel tuo caso.
ah ok e per i pordotti vale ugualmente? ad esempio i $\lim_{x\to \+infty}x(senx)$ o
$\lim_{x\to \+infty}(cosx)(senx)$ ?
$\lim_{x\to \+infty}(cosx)(senx)$ ?
No, per i prodotti no...
Per esempio la funzione $f(x)=x\ sin\ x$ oscilla e l'ampiezza delle oscillazioni diventa sempre più grande man mano che $x$ cresce.
Quindi la funzione $f$ per $x\to\infty$ non può ammettere limite.
Formalmente, non ammette limite perchè
$f(\pi/2+k\pi)={(\pi/2+k\pi\ se\ k\ è\ pari),(-\pi/2-k\pi\ se\ k\ è\ dispari):}$.
Analogamente, $\lim_{x\to\infty}(cos\ x)(sin\ x)$ non esiste. Basta osservare che $(cos\ x)(sin\ x)=\frac{1}{2}sin\ 2x$.
Per esempio la funzione $f(x)=x\ sin\ x$ oscilla e l'ampiezza delle oscillazioni diventa sempre più grande man mano che $x$ cresce.
Quindi la funzione $f$ per $x\to\infty$ non può ammettere limite.
Formalmente, non ammette limite perchè
$f(\pi/2+k\pi)={(\pi/2+k\pi\ se\ k\ è\ pari),(-\pi/2-k\pi\ se\ k\ è\ dispari):}$.
Analogamente, $\lim_{x\to\infty}(cos\ x)(sin\ x)$ non esiste. Basta osservare che $(cos\ x)(sin\ x)=\frac{1}{2}sin\ 2x$.
giusto.. grazie tante!
Prego! 
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