Studio di funzione: $f(x)=2*sqrt(x+1)-x$

[indovina]

Vorrei vedere se ci sono errori in questo studio di funzione.

$f(x)=2*sqrt(x+1)-x$

1) Dominio

$x+1>=0$

$[-1;+oo)$

2) studio del segno:

$2*sqrt(x+1)-x>=0$

$2*sqrt(x+1)>=x$

$sqrt(x+1)>=x/2$

sistemi:
$x/2>=0$
$x+1>=x^2/4$

unito a:
$x/2<0$
$x+1>=0$

il primo sistemino viene: $0<=x<2+2sqrt(2)$
il secondo viene: $-1 unione: $-1
3)limiti:
$lim_(x-> -1)2*sqrt(x+1)-x=1$

$lim(x->+oo) 2*sqrt(x+1)-x=-oo$
(qui ho moltiplicato numeratore e denominatore per $2*sqrt(x+1)+x$
poi ho messo in evidenzia il termine a grado maggiore, varie semplificazioni, e mi viene $-00$

4) derivata prima
$f'(x)=(1/(sqrt(x+1)))-1$

$f'(x)=(1-sqrt(x+1))/(sqrt(x+1))$

5) punti critici
$(1-sqrt(x+1))/(sqrt(x+1))=0$
$x!=-1$
$sqrt(x+1)=1$
$x+1=1$
$x=0$

6) crescenza-decrescenza
$(1-sqrt(x+1))/(sqrt(x+1))>0$
viene che $P(0;2)$ è un punto di massimo assoluto

7) derivata seconda
$f'(x)=-1/(2*(x+1)*sqrt(x+1))$

8) concava-convessa
$x<-1$
a noi interessa sopratutto cosa fa da $-1$ in poi.
e da $-1$ in poi la curva è rivolta verso il basso.

spero in un vostro controllo.
Grazie.

[stefano_89]

ok va tutto bene..

[*v.tondi]

Un piccolo appunto. Perchè ti sei calcolato il $\lim_(x->-1)(2sqrt(x+1)-x)$? In $-1$ la funzione è definita, quindi non c'è bisogno.

[Luca.Lussardi]

... definita e continua, non basta definita.

[*v.tondi]

Giusto Prof. Lussardi. Possono scappare o no?

[indovina]

Vero! Se lo scrivo però, mica è errore grave?

[Danying]

"clever":Vorrei vedere se ci sono errori in questo studio di funzione.

$f(x)=2*sqrt(x+1)-x$

1) Dominio

$x+1>=0$

$[-1;+oo)$

2) studio del segno:

$2*sqrt(x+1)-x>=0$

$2*sqrt(x+1)>=x$

$sqrt(x+1)>=x/2$

sistemi:
$x/2>=0$
$x+1>=x^2/4$

unito a:
$x/2<0$
$x+1>=0$

il primo sistemino viene: $0<=x<2+2sqrt(2)$
il secondo viene: $-1 unione: $-1
3)limiti:
$lim_(x-> -1)2*sqrt(x+1)-x=1$

$lim(x->+oo) 2*sqrt(x+1)-x=-oo$
(qui ho moltiplicato numeratore e denominatore per $2*sqrt(x+1)+x$
poi ho messo in evidenzia il termine a grado maggiore, varie semplificazioni, e mi viene $-00$

4) derivata prima
$f'(x)=(1/(sqrt(x+1)))-1$

$f'(x)=(1-sqrt(x+1))/(sqrt(x+1))$

5) punti critici
$(1-sqrt(x+1))/(sqrt(x+1))=0$
$x!=-1$
$sqrt(x+1)=1$
$x+1=1$
$x=0$

6) crescenza-decrescenza
$(1-sqrt(x+1))/(sqrt(x+1))>0$
viene che $P(0;2)$ è un punto di massimo assoluto

7) derivata seconda
$f'(x)=-1/(2*(x+1)*sqrt(x+1))$

8) concava-convessa
$x<-1$
a noi interessa sopratutto cosa fa da $-1$ in poi.
e da $-1$ in poi la curva è rivolta verso il basso.

spero in un vostro controllo.
Grazie.

La funzione non è limitata superiormente ......

come fa ad esserci quindi un punto di Massimo assoluto ????

[blackbishop13]

ma sì che è limitata dall'alto.

lo vedi anche solo dallo studio del segno, e dal fatto che è continua.
mi pare che clever abbia fatto tutto bene.

[Danying]

"blackbishop13":ma sì che è limitata dall'alto.

lo vedi anche solo dallo studio del segno, e dal fatto che è continua.
mi pare che clever abbia fatto tutto bene.

è definita in $[-1, +infty)$

questo è il dominio....

ecco, per dire che ammette un punto di massimo assoluto... i valori del "codominio" non devono essere limitati ...

giusto?

tale verifica si fa in questo caso calcolando i limiti agli estremi del dominio con il $lim_(xto +infty) f(x) $ che ha dato $-infty$ quindi la funzione di sicuro non avrà minimo assoluto.

e per $x->-1$si è avuto $=1$ questo uno che valore rappresenta ? dovrebbe essere un valore che annulli la derivata....

a questo punto
studiando la derivata prima potremmo verificare i punti di max e minimo relativi se vi sono.


( lo studio dell'intorno dei punti per max e minimi relativi o flesso a tangente orizzontale so in cosa consiste)

ecco, ma in sostanza, qual'è la differenza "pratica" nei passaggi da fare per la ricerca dei punti di massimo e minimo assoluti.... invece che i punti max e minimi locali ?

in questo caso " se " troviamo un punto di max relativo è da considerarsi anche di massimo assoluto ?

grazie per i futuri chiarimenti....