Studio di funzione fratta, con valore assoluto
ciao a tutti,
All esame di analisi dovevo studiare questa funzione $f(x)=(x|x|+x-1)/(x^2+1)$
Ho fatto tanti esercizi simili, ma trovo sempre delle difficoltà nello studio della derivata prima
Vi metto i miei calcoli:
-$f(x)={((x^2+x-1)/(x^2+1),if x>=0),((-x^2+x-1)/(x^2+1),if x<0):}$
-$domf=R$
-SEGNO DELLA FUNZIONE $f(x)$
num) $\{((x^2+x-1)/(x^2+1)),(x>0):}$ $ -> x=sqrt(5)/2-1/2$
den) $x^2+1>0$ $ AA x$ apartenente a $ R$
$f(x)>0$ per $x>sqrt(5)/2-1/2$
-LIMITI
$\lim_{x \to \infty} (x^2+x-1)/(x^2+1)=1$
$\lim_{x \to \-infty} (-x^2+x-1)/(x^2+1)=-1$
-DERIVATA PRIMA
$f'(x)={((-x^2+4x+1)/(x^4+2x^2+1),if x>=0),((-x^2+1)/(x^4+2x^2+1),if x<0):}$
segno della derivata prima:
$\{(-x^2+4x+1>0),(x>=0):}$ $ -> x=2+sqrt(20)/2$
$\{(-x^2+1>0),(x<0):}$ $->$ Impossibile
guardando la funzione su wolframalpha, essa presenta 5 intervalli di crescenza/decrescenza. Dove sbaglio? grazie mille in anticipo
All esame di analisi dovevo studiare questa funzione $f(x)=(x|x|+x-1)/(x^2+1)$
Ho fatto tanti esercizi simili, ma trovo sempre delle difficoltà nello studio della derivata prima
Vi metto i miei calcoli:
-$f(x)={((x^2+x-1)/(x^2+1),if x>=0),((-x^2+x-1)/(x^2+1),if x<0):}$
-$domf=R$
-SEGNO DELLA FUNZIONE $f(x)$
num) $\{((x^2+x-1)/(x^2+1)),(x>0):}$ $ -> x=sqrt(5)/2-1/2$
den) $x^2+1>0$ $ AA x$ apartenente a $ R$
$f(x)>0$ per $x>sqrt(5)/2-1/2$
-LIMITI
$\lim_{x \to \infty} (x^2+x-1)/(x^2+1)=1$
$\lim_{x \to \-infty} (-x^2+x-1)/(x^2+1)=-1$
-DERIVATA PRIMA
$f'(x)={((-x^2+4x+1)/(x^4+2x^2+1),if x>=0),((-x^2+1)/(x^4+2x^2+1),if x<0):}$
segno della derivata prima:
$\{(-x^2+4x+1>0),(x>=0):}$ $ -> x=2+sqrt(20)/2$
$\{(-x^2+1>0),(x<0):}$ $->$ Impossibile
guardando la funzione su wolframalpha, essa presenta 5 intervalli di crescenza/decrescenza. Dove sbaglio? grazie mille in anticipo
Risposte
Controlla bene i due sistemi relativi agli estremanti:
- Nel primo, non si capisce in effetti se hai sbagliato oppure hai solo scritto male (questa non è poesia, è matematica: l'omissione non è elegante, è un errore!): ammette soluzioni per $0<=x<=2+sqrt5$, e si ricava da ciò il punto di massimo che hai già notato.
- Il secondo l'hai proprio sbagliato: esso non è impossibile, bensì ammette soluzioni per $-1 <= x < 0$, con un minimo in $x = -1$.
Dunque la funzione presenta tre intervalli di monotonia:
- Decresce per $x <=-1$, con il minimo appena evidenziato
- Cresce per $-1
E il suo grafico è questo:
Ah, a proposito: perchè nei sistemi hai posto la disuguaglianza stretta?
- Nel primo, non si capisce in effetti se hai sbagliato oppure hai solo scritto male (questa non è poesia, è matematica: l'omissione non è elegante, è un errore!): ammette soluzioni per $0<=x<=2+sqrt5$, e si ricava da ciò il punto di massimo che hai già notato.
- Il secondo l'hai proprio sbagliato: esso non è impossibile, bensì ammette soluzioni per $-1 <= x < 0$, con un minimo in $x = -1$.
Dunque la funzione presenta tre intervalli di monotonia:
- Decresce per $x <=-1$, con il minimo appena evidenziato
- Cresce per $-1
E il suo grafico è questo:
Ah, a proposito: perchè nei sistemi hai posto la disuguaglianza stretta?
giusto grazie mille.
Prego
scusi, rileggendo credo di non aver compreso un passaggio.
Nel primo sistema:
a me viene che la funzione cresce per $x>= 2+sqrt(5)$. Non capisco come le viene $ 0≤x≤2+sqrt(5)$ .
Nel primo sistema:
"wrugg25":
Nel primo, non si capisce in effetti se hai sbagliato oppure hai solo scritto male (questa non è poesia, è matematica: l'omissione non è elegante, è un errore!): ammette soluzioni per 0≤x≤2+5√, e si ricava da ciò il punto di massimo che hai già notato.
a me viene che la funzione cresce per $x>= 2+sqrt(5)$. Non capisco come le viene $ 0≤x≤2+sqrt(5)$ .
Dammi tranquillamente il "tu": ho 20 anni, mica 40 
Comunque, illustro il procedimento:
La disequazione che dobbiamo risolvere è $-x^2+4x+1 >= 0$, e cioè $x^2-4x-1 <= 0$. Essendo il segno della disequazione discorde rispetto a quello del coefficiente del termine di secondo grado, ci interessano le soluzioni interne all'intervallo avente per estremi le soluzioni dell'equazione associata $x^2-4x-1 = 0$. Tale equazione, come ben sai, ha due soluzioni: $x = 2+sqrt5$ e $x = 2-sqrt5$; ne consegue che la nostra disequazione ha soluzioni per $2-sqrt5<=x<=2+sqrt5$.
Ma un attimo: noi sappiamo che deve essere $x>=0$ (ce lo dice l'intervallo di definizione della nostra funzione)! Ne consegue che l'effettivo intervallo delle soluzioni che ci interessa è quello dato dall'intersezione delle condizioni:
$ { ( x >=0 ),( 2-sqrt5<=x<=2+sqrt5 ):} $
Che, evidentemente, è $0<=x<=2+sqrt5$.
Tale evidenza può essere notata anche graficamente: la funzione $f(x)=-x^2+4x+1$ ha per grafico una parabola che sta nel primo quadrante (dove si ha contemporaneamente $f(x) >= 0$ e $x >=0$) per $0<=x<=2+sqrt5$.
Comunque, illustro il procedimento:
La disequazione che dobbiamo risolvere è $-x^2+4x+1 >= 0$, e cioè $x^2-4x-1 <= 0$. Essendo il segno della disequazione discorde rispetto a quello del coefficiente del termine di secondo grado, ci interessano le soluzioni interne all'intervallo avente per estremi le soluzioni dell'equazione associata $x^2-4x-1 = 0$. Tale equazione, come ben sai, ha due soluzioni: $x = 2+sqrt5$ e $x = 2-sqrt5$; ne consegue che la nostra disequazione ha soluzioni per $2-sqrt5<=x<=2+sqrt5$.
Ma un attimo: noi sappiamo che deve essere $x>=0$ (ce lo dice l'intervallo di definizione della nostra funzione)! Ne consegue che l'effettivo intervallo delle soluzioni che ci interessa è quello dato dall'intersezione delle condizioni:
$ { ( x >=0 ),( 2-sqrt5<=x<=2+sqrt5 ):} $
Che, evidentemente, è $0<=x<=2+sqrt5$.
Tale evidenza può essere notata anche graficamente: la funzione $f(x)=-x^2+4x+1$ ha per grafico una parabola che sta nel primo quadrante (dove si ha contemporaneamente $f(x) >= 0$ e $x >=0$) per $0<=x<=2+sqrt5$.
allora siamo coetanei
spieghi benissimo.. Hai un futuro! grazie mille!
spieghi benissimo.. Hai un futuro! grazie mille!
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