Studio di funzione esponenziale $y=sqrt(1-e^x)$

[indovina]

$y=sqrt(1-e^x)$

dominio:
$sqrt(1-e^x)>=0$

$1-e^x>=0$

$e^x-1=<0$

$e^x=<1$

$loge^x=
$e^x=<0$

studio del segno:
$sqrt(1-e^x)>0$
$x<0$

$x<0$ positivo
$x>0$ negativo

limiti:
per $x->-oo$ è $1$

per $x->0$ è $0$

derivata prima
$f'(x)=(-e^x)/(2*sqrt(1-e^x))$

punti critici
$e^x=0$

crescenza-decrescenza
$f'(x)=(-e^x)/(2*sqrt(1-e^x))>0$

$-e^x>0$ $e^x<0$ mai

$2*(sqrt(1-e^x))>0$
$x<0$
dove $P(0;0)$ è di massimo assoluto

derivata seconda
$f''(x)=((-e^x)*(2sqrt(1-e^x))+2e^x(-e^x)/(2(sqrt(1-e^x))))/(4*(1-e^x))$

$f''(x)=((-2e^x)(sqrt(1-e^x))-(e^2x)/sqrt(1-e^x))/(4*sqrt(1-e^x))$

$f''(x)=(((-2e^x(1-e^x))-e^2x)/(sqrt(1-e^x)))/(4sqrt(1-e^x))$

$f''(x)=(-2e^x+2e^2x-e^2x)/(4(sqrt(1-e^x))(1-e^x))$

$f''(x)=(e^2x-2e^x)/(4(sqrt(1-e^x))(1-e^x))$

eventuali punti di flesso:
$f''(x)=(e^2x-2e^x)/(4(sqrt(1-e^x))(1-e^x))=0$

$e^2x-2e^x=0$

$e^x(e^x-2)=0$

$e^x=0$

$e^x-2=0$

$e^x=2$

$loge^x=log2$

$x=log2$

vanno bene questi calcoli?

[Zkeggia]

Mica tanto... innanzitutto il dominio è $x<=0$ non $e^x<=0$, poi lo studio del segno della funzione è inutile e c'è un errore, in quanto una radice dovrà sempre essere non negativa e quindi x dovrà sempre essere non positivo, la derivata prima non si annulla mai ($e^x!=0$ sempre), ma per x tendente a meno infinito la funzione tende ad avere come asintoto la retta $y=1$ (perché $e^x->0$ per $x->-oo$), il segno della derivata prima è studiato male, in verità la funzione è sempre decrescente in quanto il denominatore è sempre positivo (è una radice) e il numeratore è sempre negativo ($-e^x<=0$ per ogni x), l'origine è il punto di minimo assoluto, non di massimo, i conti della derivata seconda non li ho fatti...

Un consiglio, prima di buttarti a capofitto a studiare analiticamente con i calcoli la funzione, cerca di immaginartela, così vedi se i calcoli ti tornano

[indovina]

Per la derivata prima mi trovo con te, errore mio che non ho postato tutti i calcoli
è $D=(-oo;0]$

per lo studio del segno considero solo gli $x<0$

di nuovo mancanza mia, infatti in brutta ho scritto
$e^x=0$ mai

per l'asintoto mi trovo, la curva si avvicina a $y=1$

io per la derivata prima avevo posto:
$-e^x>0$ che diventa appunto: $e^x<0$ che non si verifica mai.

e poi al denominatore è $sqrt(1-e^x)>0$ cioè il dominio, tranne $0$
Ma non capisco perchè non mi viene che è un minimo assoluto.
Per la derivata seconda: credo che i calcoli siano giusti, anche se ho visto concavità, e deduco che la derivata seconda è inutile farla.

Poi come posso immaginarmela, ponendo nella funzione ad esempio dei numeri e tracciarmi un grafico approssimativo?

[Zkeggia]

Il problema è che il punto di minimo assoluto in questo caso non lo trovi ponendo la derivata prima pari a 0, perché il punto cade ad un estermo del dominio, quindi non puoi ricavare informazioni dallo studio della derivata.
Infatti $-e^x/(2sqrt(1-e^x))$ per $x=0$ ha una singolarità. Quindi devi verificare i punti in cui si annulla la derivata prima e confrontarli numericamente con i punti agli estremi del dominio di integrazione. Così facendo vedi quali sonoi massimi e i minimi.

Per quanto riguarda lìimmaginarsi una funzione, per prima cosa guarda cosa fa nell'origine, in $x=1$, e ai bordi del dominio, facendo nel caso i limiti a mente. Così facendo ti fai una prima idea della funzione, e se con i calcoli non ti trovi almeno ti viene il dubbio e controlli bene. Se ti salta all'occhio qualche zero o qualche punto critico meglio, ci vuole un po' di allenamento.

Questa funzione che hai studiato si capisce abbastanza bene come è fatta, anche senza calcoli. che $1-e^x>0$ solo se x è negativo è scontato, quindi già sai che devi guardare a sinistra dell'origine, il fatto che la radice è sempre positiva ti indica che la funzione sta tutta nel secondo quadrante. A questo punto noti che in 0 $e^x=1$ e la funzione fa 0, che a $-oo$ si ha $e^x =0$ e quindi la funzione tende a uno. Tutto questo senza fare limiti o grossi calcoli, giusto a mente. A questo punto immaginarsi come è fatta la funzione è abbastanza semplice.

Lo stesso lo guardi con le funzioni più complicate, guardi più o meno a cosa tendono agli estremi del dominio e all'origine, vedi se c'è qualche punto critico (ad esempio nel caso di denominatori) e guardi ad occhio il segno in quel punto. Così hai già un andamento mentale della funzione, e se fai erroracci ti scatta il campanello d'allarme.

[indovina]

Spiegazione molto approfondita, ti ringrazio.
Sto facendo molti esercizi su massimo e minimo, insieme di definizione, e integrali, ma la paura più grande sono proprio gli studi di funzione, perchè a casa puoi verificarli qui con il forum e con un programma per fare i calcoli, sul compito in classe è complicato perchè appunto bisogna immaginarsela.
A fare il grafico, alla fine l'ho fatto, ma a volte ho quasi paura di affidarmi all'intuito.
Quindi secondo te, è solo questione di fare tanti esercizi e cosi si migliora il tutto?
(scusate se è off topic!)

[Zkeggia]

certo, è solo questione di esercitazione. Prova a studiare a memoria funzioni strane, iniziando dalle più facile, per esempio $1/(x-a)$ per arrivare a roba un po' più seria, vedrai che tempo 10 esercizi cominci a sviluppare l'occhio. L'importante è non perdere la calma!