Studio di funzione e valore assoluto

[g.longhi]

Ciao a tutti, ho da studiare la seguente funzione:

$f(x) = |x+4|e^(-|x|+3)$

Il dominio di $f(x)$ è tutto $R$.
Le intersezioni con gli assi sono $x=0 f(x)=4e^3$ e $y=0 x=-4$

Fin qui dovrebbe essere tutto ok.

Per gli asintoti ho che vi è un asintoto orizzontale poichè $ lim_(x -> \pm oo ) |x+4|e^(-|x|+3) = 0 $

Ora derivata prima e intervalli di monotonia.

Derivo la funzione e trovo che $f'(x) = sgn(x+4)(x+4)e^(-|x|+3)+sgn(x)|x+4|e^(-|x|+3)$

Ora sinceramente qui mi blocco, so che è una cosa forse banale e mi vergogno pure un pò a dirlo ma non so andare avanti.
Ho provato a fare le varie casistiche, cioè per $x in (-oo,-4) f'(x) = -(x+4)e^(x+3)+(x+4)e^(x+3)$

Ma è possibile che in tutto questo intervallo la funzione è costante, visto che la f'(x) = 0?

Qualcuno potrebbe illustrarmi il modus operandi in questo caso?

Edit: temo di aver sbagliato, la derivata in quell'intervallo mi viene $-8e^(x+3)$.

[dissonance]

Non è possibile che $f'$ si annulli in tutto un intervallo, si vede a occhio. Hai sbagliato qualche conto. Secondo me c'è un errore nella derivata prima. Al posto tuo io eliminerei prima i valori assoluti, ottenendo per $f$ una espressione a tratti (una cosa tipo:

$f(x)={(..., x\in I_1), (..., x \in I_2), (vdots,):}$).

[g.longhi]

Si dissonance, è quello che sto facendo.. ora lo svolgo per bene e posto i risultati