Studio di funzione e ricerca degli asintoti
Salve a tutti, mi sto preparando al mio primo esame (Analisi I), anche se al liceo non avevo grosse difficoltà adesso mi sto trovando veramente spaesato soprattutto dagli esercizi del mio professore. Nonostante ci fornisca la sue soluzioni, spesso e volentieri non riesco a capire i collegamenti logici che fa, spero che possiate darmi una mano 
Questo è un esempio di studio di funzione:
$f(x) := \frac{root(3)(x-1)}{|root(3)(x)-1|}$
il dominio è certamente $R - {1}$
Mi chiede di trovare gli asintoti, la prima cosa che avevo pensato era porre $y = x - 1$ in modo da ottenere $f(x) := \frac{root(3)(y)}{|root(3)(y+1) - 1|}$ ma non riuscivo comunque a risolvere il limite.. allora sono andato a vedere le soluzioni proposte.. beh anche lì viene applicata la mia stessa sostituzione ma poi viene detto che $f(x) := \frac{root(3)(y)}{|root(3)(y+1) - 1|} ∼ \frac{y}{|y|} * \frac{root(3)((y + 1)^2)}{root(3)(y^2)}$ per $y->0^\pm$
Già qui mi sono perso.
Poi, da questa relazione, viene dedotto che $x=1$ è un asintoto verticale e che $y=1$ e $y=-1$ sono asintoti orizzontali.
In più dovrei trovare i punti di massimo e minimo relativo e quelli di flesso, ma ci vorrei arrivare gradualmente (insomma vorrei prima capire come si fa il primo punto prima di passare ai successivi, visto che a me sembrano decisamente più difficili
)
Questo è un esempio di studio di funzione:
$f(x) := \frac{root(3)(x-1)}{|root(3)(x)-1|}$
il dominio è certamente $R - {1}$
Mi chiede di trovare gli asintoti, la prima cosa che avevo pensato era porre $y = x - 1$ in modo da ottenere $f(x) := \frac{root(3)(y)}{|root(3)(y+1) - 1|}$ ma non riuscivo comunque a risolvere il limite.. allora sono andato a vedere le soluzioni proposte.. beh anche lì viene applicata la mia stessa sostituzione ma poi viene detto che $f(x) := \frac{root(3)(y)}{|root(3)(y+1) - 1|} ∼ \frac{y}{|y|} * \frac{root(3)((y + 1)^2)}{root(3)(y^2)}$ per $y->0^\pm$
Già qui mi sono perso.
Poi, da questa relazione, viene dedotto che $x=1$ è un asintoto verticale e che $y=1$ e $y=-1$ sono asintoti orizzontali.
In più dovrei trovare i punti di massimo e minimo relativo e quelli di flesso, ma ci vorrei arrivare gradualmente (insomma vorrei prima capire come si fa il primo punto prima di passare ai successivi, visto che a me sembrano decisamente più difficili
)
Risposte
secondo me la poteva fare più semplice :
esiste il seguente limite notevole $ lim_(z -> 0) ((1+z)^alpha-1)/z=alpha $
quindi,il denominatore è asintotico a $|1/3y|$
il che vuol dire che il tuo limite è equivalente $ lim_(y -> 0) root(3)(y)/|1/3y| $
esiste il seguente limite notevole $ lim_(z -> 0) ((1+z)^alpha-1)/z=alpha $
quindi,il denominatore è asintotico a $|1/3y|$
il che vuol dire che il tuo limite è equivalente $ lim_(y -> 0) root(3)(y)/|1/3y| $
in 1+ e 1- devi calcolare gli asintoti verticali |x^(1/3)-1|=x^(1/3)-1 per x>1 |x^(1/3)-1|= 1-x^(1/3) per x<1 , per 1+ (x-1)^(1/3)/x^(1/3)-1 moltiplicando e dividendo la funzione per x^(2/3)+1+x^(1/3) ottieni e* (x-1)^(1/3)/(x-1)=3/(x-1)^(2/3)=+oo analogo discorso per 1- che tende a -oo , per gli asintoti orizzontali devi staudiare il limite per +/-oo, agevolmente calcolabile facendo il confronto fra infiniti ((x-1)^(1/3))|((x^(1/3))-1)) $=$ x^(1/3)/x^(1/3)=1, ((x-1)^(1/3))/-((x-1)^(1/3)) $=$ -x^(1/3)/x^(1/3)= -1 y= +/-1 asintoti orizzontali...
Vi ringrazio davvero tantissimo, adesso tutto sta acquisendo un po' più di senso
Ho trovato molto interessante il ragionamento di @quantunquemente per quanto riguarda il denominatore, proverò adesso a capire come trovare massimo e minimo e punti di flesso solo con la derivata prima.
Grazie mille!
Ho trovato molto interessante il ragionamento di @quantunquemente per quanto riguarda il denominatore, proverò adesso a capire come trovare massimo e minimo e punti di flesso solo con la derivata prima.
Grazie mille!
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