Studio di funzione e punti critici
Salve ragazzi,
ho da studiare questa funzione $f(x,y)=x^3 + y^3 -3xy$
derivate parziali: $f_x=3x^2-3y$ e $f_x=3y^2 - 3x$
faccio il sistema, trovo i punti (0,0) , (1,1)
ora le derivate seconde
$f_(x\x) = 6x, f_(xy) = -3 , f_(yx)=-3, f_(yy)=6y$
Ora l'hessiano : $H(x,y)= 36xy + 9 $
Ora trovo che nel punto (0,0) l'hessiano viene 9, quando però vado a controllare il segno della derivata $f_(x\x) = 0$ come faccio?? Non dovrebbe venire per la condizione di sufficienza o maggiore o minore di 0?
Grazie a tutti
Marko1
ho da studiare questa funzione $f(x,y)=x^3 + y^3 -3xy$
derivate parziali: $f_x=3x^2-3y$ e $f_x=3y^2 - 3x$
faccio il sistema, trovo i punti (0,0) , (1,1)
ora le derivate seconde
$f_(x\x) = 6x, f_(xy) = -3 , f_(yx)=-3, f_(yy)=6y$
Ora l'hessiano : $H(x,y)= 36xy + 9 $
Ora trovo che nel punto (0,0) l'hessiano viene 9, quando però vado a controllare il segno della derivata $f_(x\x) = 0$ come faccio?? Non dovrebbe venire per la condizione di sufficienza o maggiore o minore di 0?
Grazie a tutti
Marko1
Risposte
basta guardare in faccia $f$ e si capisce che nell'origine non darà luogo ad una forma hessiana definita (positiva o negativa che sia).
I termini con $x^3$ e $y^3$ sono messi lì apposta...
E allora che si fa? Semplice. Si studia "a mano" vicino all'origine.
Per esempio sui due assi.
Per $y=0$, ad esempio, ottieni:
$f(x,0) = x^3$ che evidentemente assume valori di segno opposto in ogni intorno dell'origine (mi interessa il segno del valore di $f$ perché devo confrontare i valori che assume "vicino" all'origine col valore che assume nell'origine e lì vale, par l'appunto 0). Quindi puoi concludere per certo che l'origine non è né un punto di max né di min locale (o relativo che dir si voglia).
I termini con $x^3$ e $y^3$ sono messi lì apposta...
E allora che si fa? Semplice. Si studia "a mano" vicino all'origine.
Per esempio sui due assi.
Per $y=0$, ad esempio, ottieni:
$f(x,0) = x^3$ che evidentemente assume valori di segno opposto in ogni intorno dell'origine (mi interessa il segno del valore di $f$ perché devo confrontare i valori che assume "vicino" all'origine col valore che assume nell'origine e lì vale, par l'appunto 0). Quindi puoi concludere per certo che l'origine non è né un punto di max né di min locale (o relativo che dir si voglia).
"Fioravante Patrone":
basta guardare in faccia $f$ e si capisce che nell'origine non darà luogo ad una forma hessiana definita (positiva o negativa che sia).
I termini con $x^3$ e $y^3$ sono messi lì apposta...
E allora che si fa? Semplice. Si studia "a mano" vicino all'origine.
Per esempio sui due assi.
Per $y=0$, ad esempio, ottieni:
$f(x,0) = x^3$ che evidentemente assume valori di segno opposto in ogni intorno dell'origine (mi interessa il segno del valore di $f$ perché devo confrontare i valori che assume "vicino" all'origine col valore che assume nell'origine e lì vale, par l'appunto 0). Quindi puoi concludere per certo che l'origine non è né un punto di max né di min locale (o relativo che dir si voglia).
Ti ringrazio per la tua rapidità nella risposta e per la tua disponibilità, è la seconda volta che mi rispondi ad un mio post, te ne sono veramente grato
Mi sono accorto che comunque avevo fatto un errore di calcolo. visto che la forma dell'hessiano è $H(x,y)=6xy-9$ di conseguenza nel punto (0,0) è minore di 0 è quindi è un punto di sella.
Ti ringrazio per la tua chiave di lettura....mi ha chiarito un altro bel pò di cose che non mi erano chiare.
Grazie ancora.
Marko!
verissimo!
non avevo controllato i tuoi conti...
per fortuna i risultati che trovavo nel post non sono sbagliati. E non sono in contraddizione con il fatto che ci sia un punto di sella.
Devo aggiungere, per te e per gli altri che leggono, una autocritica. Le considerazioni che facevo, sui termini di grado tre, erano avventate e superficiali. Grosso modo, i termini di grado superiore al secondo assumono importanza nello studio locale della funzione per trovarne max e min locali, laddove la approssimazione "di secondo grado" ovvero la forma quadratica abbia degli autovalori nulli (tipico caso, quando si ha una forma hessiana semidefinita positiva ma non definita positiva).
Questo non era il tuo caso.
Ciao
non avevo controllato i tuoi conti...
per fortuna i risultati che trovavo nel post non sono sbagliati. E non sono in contraddizione con il fatto che ci sia un punto di sella.
Devo aggiungere, per te e per gli altri che leggono, una autocritica. Le considerazioni che facevo, sui termini di grado tre, erano avventate e superficiali. Grosso modo, i termini di grado superiore al secondo assumono importanza nello studio locale della funzione per trovarne max e min locali, laddove la approssimazione "di secondo grado" ovvero la forma quadratica abbia degli autovalori nulli (tipico caso, quando si ha una forma hessiana semidefinita positiva ma non definita positiva).
Questo non era il tuo caso.
Ciao
Premetto che sono passati 16 anni da quando ho fatto analisi II.
Mi sono andata a riguardare il libro e le annotazioni che avevo fatto.
Innanzitutto a me l'hessiano viene 36xy-9 e non 36xy+9.
Quindi H(0;0)=-9<0, pertanto sicuramente in (0;0) non c'è nè max nè min.
Tra le mie annotazioni sul libro ho trovato questo:
1. $H(x_0;y_0)>0$ allora esiste o max o min (sela deriv sec <0 allora è max; se >0 allora è min)
2. $H(x_0;y_0)<0$ allora non esiste nè max nè min
3. $H(x_0;y_0)=0$ allora si deve ragionare su un intorno.
Mi sono andata a riguardare il libro e le annotazioni che avevo fatto.
Innanzitutto a me l'hessiano viene 36xy-9 e non 36xy+9.
Quindi H(0;0)=-9<0, pertanto sicuramente in (0;0) non c'è nè max nè min.
Tra le mie annotazioni sul libro ho trovato questo:
1. $H(x_0;y_0)>0$ allora esiste o max o min (sela deriv sec <0 allora è max; se >0 allora è min)
2. $H(x_0;y_0)<0$ allora non esiste nè max nè min
3. $H(x_0;y_0)=0$ allora si deve ragionare su un intorno.
"laura.todisco":
Premetto che sono passati 16 anni da quando ho fatto analisi II.
Mi sono andata a riguardare il libro e le annotazioni che avevo fatto.
Innanzitutto a me l'hessiano viene 36xy-9 e non 36xy+9.
Quindi H(0;0)=-9<0, pertanto sicuramente in (0;0) non c'è nè max nè min.
Tra le mie annotazioni sul libro ho trovato questo:
1. H(x_0;y_0)>0 allora esiste o max o min (sela deriv sec <0 allora è max; se >0 allora è min)
2. H(x_0;y_0)<0 allora non esiste nè max nè min
3. H(x_0;y_0)=0 allora si deve ragionare su un intorno.
Si esatto avevo sbagliato
errori di distrazione.Grazie per la tua risposta.
Marko.
Ma prego! Sai, mi sto esercitando, non mi va di diventare una vecchia prof che insegna sempre le stesse cose e dimentica il resto! E questo forum mi ha fatto tornare la passione violenta per la matematica ehehehehe 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo