Studio di funzione e limite notevole

[pleyone-votailprof]

salve ragazzi mi servirebbe una mano con questi due esercizi:
1) allora il primo è un limite da risolvere con i limiti notevoli: $lim_( -> <0>)((1-cos2x)*x)/((sinx)^2*(e^(3x)-1) $
allora io ho fatto cosi
-moltiplico e divido per 3 e ottengo $lim_( -> <0>)((3x)/(e^(3x)-1))*((1-cos2x))/(3(sinx)^2 $ sapendo che $lim_( -> <0>)((3x)/(e^(3x)-1))=1$
mi rimane $lim_( -> <0>)((1-cos2x))/(3(sinx)^2 $ a questo punto moltiplico e divido per $x^2$ in modo che elimino il seno tramite il limite notevole $lim_( -> <0>)(sinx^2/x^2)=1$ ora noto che mi è rimasto $lim_( -> <0>)((1-cos2x))/(3x^2) $ moltiplico e divido per $2x$ e trovo il limite notevole $lim_( -> <0>)(1-cos2x)/(2x)=0$ e ottengo che il risultato finale del limite è $1*1*0*(1/(3x^2))=0$
è giusto oppure sono da mandare al patibolo ????

2)il secondo dubbio invece riguarda una derivata,devo fare lo studio di funzione di $f(x)=xe^|x|$,trovo il dominio che è tutto R,faccio i limiti per - e + infinito,trovo che non esiste asintoto obliquo e quindi passo alle derivate.A me la derivata,utilizzando il criterio del prodotto,risulta $f'(x)=e^|x|+(xe^|x|*|x|)$ mentre derive che uso come riscontro per vedere dove sbaglio mi da come risultato $e^|x|+e^|x|*|x|$,ecco qui non capisco perchè derive fa sparire la x del secondo termine mi date una mano a capire come la semplifica o comunque cosa fa per eliminarla?

[K.Lomax]

1) Ti ricordo il seguente limite notevole:

[tex]\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}[/tex]

2) La derivata di [tex]|x|[/tex] è [tex]\frac{|x|}{x}[/tex] ovvero la funzione [tex]\text{sgn}(x)[/tex]

[Mathcrazy]

Non ho letto i passaggi, ma quel limite va risolto, riconducendolo a immediati limiti notevoli, così, ad occhio, m'è venuto [tex]\frac {2}{3}[/tex].

[pleyone-votailprof]

"K.Lomax":1) Ti ricordo il seguente limite notevole:

[tex]\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}[/tex]

2) La derivata di [tex]|x|[/tex] è [tex]\frac{|x|}{x}[/tex] ovvero la funzione [tex]\text{sgn}(x)[/tex]

ecco proprio qui è il mio dubbio,invece di moltiplicare e dividere per 2x utilizzando $lim_(-><0>)(1-cos2x)/(2x)=0$ posso isolare 2/3 da qui $lim_(-><0>)(1-cos2x)/(3x^2)$ e quindi utilizzare $lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$?????

[Iris26]

No, non è corretto, non puoi estrarre il 2 da cos2x. e quindi devi ottenere $ (2x)^2 $ al denominatore.Per far ciò basta isolare il 3 del denominatore e moltiplicare e dividere per 4, in modo da ottenere $ 4/3*(1-cos2x)/(4x^2)= 4/3*(1-cos2x)/(2x)^2 $ .Ok?

[pleyone-votailprof]

ok capito grazie mille!!!!