Studio di funzione: dominio?

[dna881]

Ciao a tutti,
premetto che questa funzione mi è stata data all'esame di matematica generale ad economia. L'ho dovuta fare velocemente e ora la sto riguardando.
Ho un grande dubbio sul dominio, odio quando c'è il valore assoluto e quasi sempre faccio confusione.
Vado bene quando c'è una simmetria cosi studio solo il caso positivo. In questo esercizio simmetrie invece non ce ne sono. La funzione è:

$ln ((|x+1|)/(1-x))$

io di solito "spacco" il modulo in due parti.
quindi:

1) per x>1 ottengo $ln ((x+1)/(1-x))$
2) per x<1 ottengo $ln ((-x-1)/(1-x))$

e dato che il denominatore non deve mai essere uguale a 0 devo sempre tenere conto che 3) $x!=1$ ...

Per il dominio devo fare un sistema che mi racchiuda caso1+2+3?
perchè $ln ((|x+1|)/(1-x))>0$ io ho fatto cosi

$ { ( (x+1)/(1-2)>0 ),( (-x-1)/(1-2)>0),( x!=1):} $

e secondo i miei calcoli sbagliati mi viene che x!=1 dato che ho unito le varie soluzioni delle disequazioni.
Su derive invece il risultato mi viene $x<1$ e $x!=1$ .... cosa sbaglio? ma sopratutto come faccio uno studio di funzione con i moduli con meno rischi di sbaglio ??? devo assolutamente capire questi passaggi se no non dormo la notte

vi allego il grafico di derive

[dissonance]

Ma non c'è bisogno di fare tutto quel papocchio.
Tu devi trovare le $x$ per cui

$(|x+1|)/(1-x)>0$

A parte $x=-1$ che annulla il numeratore, tutte le altre $x$ lo rendono strettamente positivo. Ti riduci quindi a studiare

$1/(1-x)>0$

cioè, a parte $x=1$ in cui quella frazione perde significato,

$1-x>0$.

Quella funzione quindi è definita per $x<1,\ x!=-1$.

[dna881]

Ci scommettevo che mi rispondeva subito qualcuno che mi fregava in un passaggio.

Solo che sono uno zuccone e non riesco a capire quello che hai fatto... ci sarà pure un metodo comune, un procedimento che porta su tutte le funzioni ad un risultato. che ci si possa arrivare in un passaggio posso capirlo ma dato che sono un mero ragionere non sono cosi veloce se non ho uno schema mentale...

hai pazienza ? era sbagliato il mio procedimento?

cioè tu dici: dato che tutto quello sotto al modulo è sicuramente positivo, studio solo il denominatore? giusto?

[dissonance]

"dna88":cioè tu dici: dato che tutto quello sotto al modulo è sicuramente positivo, studio solo il denominatore? giusto?

Per essere giusto è giusto ma non prenderlo come una regola. Facciamo le cose passo-passo. Abbiamo la disequazione

$\frac{|x+1|}{1-x}>0$;

osserviamo che, quando $x=-1$, questa sicuramente non è verificata. Supponiamo d'ora in poi che $x!=-1$. In questo caso $|x+1|$ è una quantità strettamente positiva, quindi possiamo dividere membro a membro senza cambiare verso alla disuguaglianza:

$\frac{1}{1-x}>0$.

Ora continuiamo la risoluzione, ricordandoci che abbiamo scartato $x=-1$, valore per cui la disuguaglianza di partenza non è verificata.

Il metodo che hai seguito tu non è concettualmente sbagliato (a parte la condizione $log(\frac{|x+1|}{1-x})>0$ che non ho capito perché hai imposto; probabilmente ti sei sbagliato, volevi dire $\frac{|x+1|}{1-x}>0$), ma è troppo zeppo di conti e probabilmente sono quelli che ti hanno fatto confondere da qualche parte.

[dna881]

Si probabilmente mi sono perso nei calcoli e ho già capito dove...

ho capito tutto il procedimento che mi hai descritto ed in effetti mi avrebbe fatto risparmiare tempo, calcoli e sopratutto avrei fatto giusto il risultato...
unica cosa non ho capito perchè hai diviso per $(x+1)$. io potevo lo stesso fare che $|x+1| > 0$ per ogni x e il denominatore $x<1$ giusto?

comunque grazie per la dritta.. spero di riuscire a fare la maggior parte degli esercizi cosi.. pensavo si dovesse per forza fare lo studio per |-x-1| e |x+1| ...

per lo studio del segno posso adottare la stessa tattica o devo per forza "spaccare" il modulo?

[dissonance]

"dna88":unica cosa non ho capito perchè hai diviso per $(x+1)$. io potevo lo stesso fare che $|x+1| > 0$ per ogni x e il denominatore $x<1$ giusto?

Si, anche.

per lo studio del segno posso adottare la stessa tattica o devo per forza "spaccare" il modulo?

Ma lì la disequazione è diversa. Per quella devi necessariamente svolgere il valore assoluto; in linea di massima, però, cerca sempre di svolgerlo più tardi possibile.