Studio di funzione, derivata valore assoluto

[zukimania]

Saluti a tutti, è il primo messaggio che scrivo per cui è giusto che io mi presenti: mi chiamo simone vengo da udine e purtroppo la matematica non è il mio forte...

Veniamo al mio problema, è un pomeriggio che ci sbatto la testa ma non ho capito dove sbaglio, ho questa semplice funzione x|x-2| della quale devo fare le solite cose (segno, derivate, asintoti, grafico ecc) ma mi blocco sullo studio della derivata prima.
Divido i due casi x<0 derivata -2x+2 e x>=0 derivata 2x-2 lo studio del segno per capire dove la funzione è crescente e dove è decresente mi porta a x>1 per x>=0 cioè sale dopo 1 e x<1 per x<0 cioè sale prima di 1. Però so anche che in due c'e un punto angoloso (ho calcolato il limite dx e sx che mi viene 2da destra e 2 da sx, anche questo a dire il vero non mi torna...) e che la mia funzione sale fino a 1, scende per 12 perche ho disegnato un grafico con un programma, proprio perche non ero convinto del risultato.

Dove sbaglio e perche?

Grazie a tutti, buona giornata

[mate?1]

I due casi li dovresti fare per x>2 e x<2 (scegli tu dove mettere l'uguale). Guarda sempre nel modulo, e fai i due casi con quello che hai dentro.

[YetNow]

Però so anche che in due c'e un punto angoloso (ho calcolato il limite dx e sx che mi viene 2da destra e 2 da sx, anche questo a dire il vero non mi torna...)

Se ti riferisci al limite della derivata per x che tende a 2, da sinistra questo limite è -2.

[zukimania]

si giusto, avevo sbagliato a scrivere, il lim da sx è -2, mi è solo sfuggito il meno. ah, ok quindi verrebbe x^2 -2x -2 >= 0 nel primo caso e x^2 +2x -2 < 0 nel secondo. Di nuovo mi sorgono dei dubbi, nel secondo caso il delta è negativo per cui la parabola non incrocia l'asse e la derivata è sempre positiva, giusto? Mentre nel primo caso la derivata è positiva per x<-0.7 e x>2.7 (circa) che ancora non torna.
Saranno i primi caldi ma proprio non ci arrivo. Grazie per la dritta

[YetNow]

si giusto, avevo sbagliato a scrivere, il lim da sx è -2, mi è solo sfuggito il meno.

Figurati, capita proprio a tutti. Io, quando è ora di pranzo, per esempio, dovrei astenermi dalle dimostrazioni.
Adesso vado un po' di fretta, però sicuramente con delta negativo non ci sono intersezioni con l'asse reale. Stasera rileggo il tutto e vedo se riesco a darti qualche altra info.

[zukimania]

comunque ho riprovato a fare i conti ma ancora non capisco, non trovo la soluzione che mi aspetto, la funzione deve salire fino a 1, scendere fino a 2 e salire fino all'infinito. ma i conti non tornano proprio...


per esempio
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x|x-2|

[Raptorista1]

Ci sono molte cose che non mi convincono: ho capito bene che la funzione che stai studiando è $f(x)=x\cdot|x-2|$?
In tal caso, poni il modulo maggiore di zero per poi poter distinguere i due casi; una volta fatto questo, disegna i due casi e considerali solo nelle condizioni in cui sono veri.

Ti faccio un esempio: $f(x)=|x+1|$ si riscrive come $f(x)={(x+1 " se " x>=-1),(-x-1 " se " x<-1):}$.
Chiaro?

[zukimania]

La funzione si è quella. Si quello mi è chiaro, forse mi confondo su come applicare i due casi separati alla fine della giostra. CAvolo illuminazione improvvisa, vediamo se è vero o no... non avevo derivato questa volta, mica sarò cosi fuori?

[zukimania]

no no no impazzisco, se x>2 derivata viene 2x-2 e quindi sale per x>1 se x<2 derivata -2x +2 e quindi sale per x < 1 ma poi non so come applicare il risultato al grafico.
cioè ormai ho perso tutte le mie convinzioni matematiche, non so neanche fare 2+2, che frustrazione

[Raptorista1]

Premetto che la punteggiatura e l'uso dei compilatori di formula non ha mai ucciso nessuno.

Applicare i risultati al grafico è semplice: disegna sullo stesso grafico entrambi i casi della funzione, poi prendi quello che è valido per $x>2$ e lo cancelli nell'intervallo $x<2$; poi prendi l'altro e fai lo stesso.

[YetNow]

Considera i casi $ x >= 2 $ e $ x < 2 $ , ottenendo rispettivamente $ (x)^(2)-2x $ e $ -(x)^(2)+2x $ . Calcola le intersezioni con l'asse reale, i punti in cui la derivata si annulla, gli intervalli in cui la derivata prima è positiva/negativa, i limiti all'infinito, etc. Hai già le derivate, ad ogni passo aggiorna il grafico.

[zukimania]

Chiedo scusa, sono fuori di me, è un problema "semplice" ma che mi sta facendo impazzire, molto probabilmente mi perdo in un bicchier d'acqua.

Provando e riprovando non riesco ad uscire da questo buio, ho provato a sviluppare le derivate sia per i casi $x>=0$ e $x<0$ che per i casi $x>=2$ e $x>2$. Chiaramente la derivata è la medesima per i due casi e ottengo:

SE
$x>=0$ oppure $x>=2$ DERIVATA $2x-2$ che è positiva per $x>=1$
$x<0$ oppure $x<2$ DERIVATA $-2x +2$ che è positiva per $x<1$

Per applicarle al grafico trovo problemi perche, come dicevo nel post precedente, il risultato che trovo non è compatibile con quello che è il disegno del grafico. Per quanto riguarda le concavità e i flessi tutto ok, non incontro problemi, perche non riesco a capire dove questo cavolo di grafico scende e sale?! Quale parte del procedimento mi sfugge? Ho provato anche a svagarmi, pensare ad altro, fare una corsa in bici ma niente ho proprio bisogno di un anima pia che mi spieghi dove sbaglio. Grazie a tutti

[Raptorista1]

Qual è il problema nello studio del segno della derivata?

[zukimania]

il problema è che non capisco come applicarlo in questo caso, non è il primo studio di funzione che faccio, anche se sembrerebbe. Diciamo che le soluzioni che trovo io sono contraddittorie rispetto a come dovrebbe venire disegnato il grafico.

[Elena19273481]

$f(x)=x|x-2|={(x(x-2),se, x-2>=0),(x(-x+2),se, x-2<0):}$
$f(x)={(x(x-2),se, x>=2),(x(-x+2),se, x<2):}={(x^2-2x,se, x>=2),(-x^2+2x,se, x<2):}=$

Ora puoi calcolarti la derivata in due modi: considerando la funzione di partenza (ricordando che la derivata di |x| è uguale a |x|/x oppure a x/|x|) oppure la funzione "divisa" sui due intervalli:

1°) $f'(x)=1*|x-2|+x*((x-2)/|x-2|)= |x-2|+x*((x-2)/|x-2|) ={((x-2)+x,se, x-2>=0),( (-x+2)-x,se, x-2<0):}= {(2x-2,se, x>=2),( -2x+2,se, x<2):} $

2°) $f'(x)={((x^2-2x)',se, x>=2),((-x^2+2x)',se, x<2):}= {(2x-2,se, x>=2),( -2x+2,se, x<2):}$

Ora dobbiamo studiare il segno della derivata prima:
$2x-2>0$ per x>1 ma $2x-2$ è la funzione per $x>=2$ quindi questa sarà >0 per $x>=2$ (f cresce).
$-2x+2>0$ per x<1 (e quindi sarà <0 per x>1) ma $-2x+2$ è la funzione per $x<2$ quindi sarà :
$f'>0$ per $x<1$ (f cresce)
$f'<0$ per $1 (x=1 punto di max
x=2 punto angoloso)

[zukimania]

Ringrazio velma per avermi fatto capire dove sbagliavo

Ora dobbiamo studiare il segno della derivata prima:
2x-2>0 per x>1 ma 2x-2 è la funzione per x≥2 quindi questa sarà >0 per x≥2 (f cresce).
-2x+2>0 per x<1 (e quindi sarà <0 per x>1) ma -2x+2 è la funzione per x<2 quindi sarà :
f'>0 per x<1 (f cresce)
f'<0 per 1 (x=1 punto di max
x=2 punto angoloso)

Le derivate erano giuste ma mi sfuggiva appunto $2x-2$ è la funzione per $x≥2$ ma soprattutto $-2x+2>0$ per $x<1$ (e quindi sarà $<0$ per $x>1$) ma -$2x+2$ è la funzione per $x<2$ quindi sarà :
$f'>0$ per $x<1$ (f cresce)
$f'<0$ per $1

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[Elena19273481]

I tuoi rangraziamenti sono graditi.
ciao e buono studio