Studio di funzione definita a tratti con parametro
Dovrei studiare la seguente funzione:
${ (xarctan(x+1),x<=0),( log(sin^2(x)+1)/|cos(x)-1|^\alpha,x>0):}$
In particolare devo studiare per quali valori di $\alpha \in R$ la funzione è continua in $[-1,1]$.
Ora, una funzione è continua in un intervallo se è continua in ogni punto di tale intervallo.
Non so se in questi casi bisogna calcolare il dominio per assicurarsi che le due sottofunzioni siano definite in $[-1,1]$.
Comunque la mia idea generale era di valutare il punto $x_0 = 0$ studiandone limite destro e sinistro e confrontarlo con $f(x_0)$ e di studiare il comportamento della funzione in corrispondenza degli estremi dell'intervallo.
Devo studiare il limite destro e sinistro sia di $1$ che di $-1$ e confrontarlo, rispettivamente con $f(1)$ e $f(-1)$ o mi basta studiare il limite destro di $-1$ e sinistro di $1$?
E per i valori interni cosa mi assicura la continuità?
Per quanto riguarda la risoluzione di $lim_(x->0^+) log(sin^2(x)+1)/|cos(x)-1|^\alpha$ mi sono mosso sfruttando la notazione o-piccolo (che il mio professore predilige e che comunque trovo comoda).
In particolare noto:
per il numeratore
$log(sin^2(x)+1) = log(x^2+o(x^2)+1)$ per $x->0$ e ancora $log(x^2+o(x^2)+1)=x^2+o(x^2)+o(x^2+o(x^2) = x^2+o(x^2)+o(x^2)+o(o(x^2)) = x^2(1+o(1))$
per il denominatore:
$|cos(x)-1|^\alpha=(|-(1/2x^2+o(x^2)|)^\alpha=x^(2\alpha)/2^\alpha*|1+o(1)|^\alpha$ sempre per $x->0$ .
Ricordando che $(1+x)^\alpha=1+\alpha*x+o(x)$ trovo che $x^(2\alpha)/2^\alpha*|1+o(1)|^\alpha=x^(2\alpha)/2^\alpha * |1+\alpha*o(1)+o(1)|=x^(2\alpha)/2^\alpha *|1+o(1)|=x^(2\alpha)/2^\alpha *(1+o(1))$
Quindi il limite diventa:
$lim_(x->0^+)x^2(1+o(1))/(x^(2\alpha)/2^\alpha *(1+o(1)))=(x^2)^(1-\alpha)*2^alpha*(1+o(1))/(1+o(1))$
Quindi ho che per $alpha =1$ il limite tende a $2$ per $\alpha<1$ il limite tende a 0 e per $alpha>1$ il limite tende a $+oo$.
Ora tutte le valutazioni risultano corrette ( ho provato a disegnarla su geogebra) l'unica errata è $alpha=1$. Infatti nel grafico tende a un valore non intero maggiore di 0.
Cosa ho sbagliato?
Perdonate il papiro. Vi ringrazio per l'aiuto!
${ (xarctan(x+1),x<=0),( log(sin^2(x)+1)/|cos(x)-1|^\alpha,x>0):}$
In particolare devo studiare per quali valori di $\alpha \in R$ la funzione è continua in $[-1,1]$.
Ora, una funzione è continua in un intervallo se è continua in ogni punto di tale intervallo.
Non so se in questi casi bisogna calcolare il dominio per assicurarsi che le due sottofunzioni siano definite in $[-1,1]$.
Comunque la mia idea generale era di valutare il punto $x_0 = 0$ studiandone limite destro e sinistro e confrontarlo con $f(x_0)$ e di studiare il comportamento della funzione in corrispondenza degli estremi dell'intervallo.
Devo studiare il limite destro e sinistro sia di $1$ che di $-1$ e confrontarlo, rispettivamente con $f(1)$ e $f(-1)$ o mi basta studiare il limite destro di $-1$ e sinistro di $1$?
E per i valori interni cosa mi assicura la continuità?
Per quanto riguarda la risoluzione di $lim_(x->0^+) log(sin^2(x)+1)/|cos(x)-1|^\alpha$ mi sono mosso sfruttando la notazione o-piccolo (che il mio professore predilige e che comunque trovo comoda).
In particolare noto:
per il numeratore
$log(sin^2(x)+1) = log(x^2+o(x^2)+1)$ per $x->0$ e ancora $log(x^2+o(x^2)+1)=x^2+o(x^2)+o(x^2+o(x^2) = x^2+o(x^2)+o(x^2)+o(o(x^2)) = x^2(1+o(1))$
per il denominatore:
$|cos(x)-1|^\alpha=(|-(1/2x^2+o(x^2)|)^\alpha=x^(2\alpha)/2^\alpha*|1+o(1)|^\alpha$ sempre per $x->0$ .
Ricordando che $(1+x)^\alpha=1+\alpha*x+o(x)$ trovo che $x^(2\alpha)/2^\alpha*|1+o(1)|^\alpha=x^(2\alpha)/2^\alpha * |1+\alpha*o(1)+o(1)|=x^(2\alpha)/2^\alpha *|1+o(1)|=x^(2\alpha)/2^\alpha *(1+o(1))$
Quindi il limite diventa:
$lim_(x->0^+)x^2(1+o(1))/(x^(2\alpha)/2^\alpha *(1+o(1)))=(x^2)^(1-\alpha)*2^alpha*(1+o(1))/(1+o(1))$
Quindi ho che per $alpha =1$ il limite tende a $2$ per $\alpha<1$ il limite tende a 0 e per $alpha>1$ il limite tende a $+oo$.
Ora tutte le valutazioni risultano corrette ( ho provato a disegnarla su geogebra) l'unica errata è $alpha=1$. Infatti nel grafico tende a un valore non intero maggiore di 0.
Cosa ho sbagliato?
Perdonate il papiro. Vi ringrazio per l'aiuto!
Risposte
Impossibile che il limite sia $-2$ in alcun caso, la tua funzione è non negativa per $x \to 0^+$. Il limite è $2$ per $\alpha=1$; questi accorgimenti sono importanti, ti permettono di evitare errori grossolani. Ricorda che se $f(x)>K$ per ogni $x \in \text{dom} f$, allora se esiste $L=\lim_{x \to c} f(x)$ è $L \ge K$ (vale uno stesso accorgimento se $f(x)
A parte questo errore di conto, non hai sbagliato nulla, anche se è inutile la parte con $(1+x)^\alpha=1+\alpha x +\text{o}(x)$. Probabilmente, hai scritto "log" su GeoGebra; lo interpreta come logaritmo in base $10$, non come logaritmo naturale (che è quello che si intende). I grafici non sono dimostrazioni, e i programmi non pensano; fanno quello che tu gli dici di fare, che in questo caso era completamente diverso rispetto all'esercizio. Non devi MAI fidarti ciecamente di una macchina, devi fidarti del tuo pensiero critico. Suppongo inoltre che tu abbia già calcolato il limite per $x \to 0^-$, essendo questo immediato.
Per quanto riguarda la continuità in $[-1,1]\setminus \{0\}$, non devi fare alcun conto; devi ripassare la teoria. Cosa dicono i principali teoremi sulle funzioni continue?
A parte questo errore di conto, non hai sbagliato nulla, anche se è inutile la parte con $(1+x)^\alpha=1+\alpha x +\text{o}(x)$. Probabilmente, hai scritto "log" su GeoGebra; lo interpreta come logaritmo in base $10$, non come logaritmo naturale (che è quello che si intende). I grafici non sono dimostrazioni, e i programmi non pensano; fanno quello che tu gli dici di fare, che in questo caso era completamente diverso rispetto all'esercizio. Non devi MAI fidarti ciecamente di una macchina, devi fidarti del tuo pensiero critico. Suppongo inoltre che tu abbia già calcolato il limite per $x \to 0^-$, essendo questo immediato.
Per quanto riguarda la continuità in $[-1,1]\setminus \{0\}$, non devi fare alcun conto; devi ripassare la teoria. Cosa dicono i principali teoremi sulle funzioni continue?
si mi era sfuggito un "-" di troppo. Perché è inutile $(1+x)^α=1+αx+o(x)$ ?
Comunque si avevo scritto logaritmo in base 10
però non avendo le soluzioni avevo bisogno di qualche termine di paragone.
Per quanto riguarda le funzioni continue non saprei. L'unica cosa che mi viene in mente è che tutte le funzioni elementari sono continue nei loro domini e la composizione di funzioni continue è ancora continua. Quindi è sicuramente continua in $[-1,1]-{0}$ ?
A questo punto perdona la domanda ma, non devo fare alcuna operazione, cosa mi serve sapere che la funzione è continua in [-1,1]?
Comunque si avevo scritto logaritmo in base 10
però non avendo le soluzioni avevo bisogno di qualche termine di paragone. Per quanto riguarda le funzioni continue non saprei. L'unica cosa che mi viene in mente è che tutte le funzioni elementari sono continue nei loro domini e la composizione di funzioni continue è ancora continua. Quindi è sicuramente continua in $[-1,1]-{0}$ ?
A questo punto perdona la domanda ma, non devo fare alcuna operazione, cosa mi serve sapere che la funzione è continua in [-1,1]?
"paolo1712":
Perché è inutile $(1+x)^α=1+αx+o(x)$ ?
Perché la potenza reale $\alpha$-esima e il modulo sono funzioni continue, quindi:
$$\lim_{x \to 0^+} |1+\text{o}(1)|^\alpha=\left(\lim_{x \to 0^+}|1+\text{o}(1)|\right)^\alpha=\left|\lim_{x \to 0^+} \left(1+\text{o}(1)\right)\right|^\alpha=|1|^\alpha=1^\alpha=1$$
"paolo1712":
Per quanto riguarda le funzioni continue non saprei. L'unica cosa che mi viene in mente è che tutte le funzioni elementari sono continue nei loro domini e la composizione di funzioni continue è ancora continua. Quindi è sicuramente continua in [−1,1]−{0} ?
Esattamente. Composizione, prodotto, somma, rapporto dove il denominatore è non nullo, eccetera.
"paolo1712":
A questo punto perdona la domanda ma, non devo fare alcuna operazione, cosa mi serve sapere che la funzione è continua in [-1,1]?
Non devi fare alcuna operazione in $[-1,1]\setminus\{0\}$, in $x_0=0$ devi. Il punto è che la funzione data è definita a tratti, e cambia definizione in ogni intorno bucato di $0$ (con: "Intorno bucato di $c$" intendo un intorno privato del punto $c$). Quindi, dato che la definizione di limite coinvolge il valore della funzione in un intorno del punto di accumulazione verso il quale sta tendendo la variabile, in casi come questo la continuità in $x_0=0$ non si può dedurre dai teoremi ma va studiata con la definizione (ossia, col limite come hai fatto tu).
Ho capito.
Ti ringrazio ancora per il tuo tempo Mephlip.
Ti auguro buona giornata!
Ti ringrazio ancora per il tuo tempo Mephlip.
Ti auguro buona giornata!
Ciao paolo1712,
Se posso, secondo me stai facendo delle fatiche inutili...
Quel limite si risolve facilissimamente coi limiti notevoli:
$\lim_(x \to 0^+) log(sin^2(x)+1)/|cos(x)-1|^\alpha = \lim_(x \to 0^+) log(sin^2(x)+1)/|1 - cos(x)|^\alpha =$
$ = \lim_(x \to 0^+) log(sin^2(x)+1)/sin^2(x) \cdot sin^2(x)/x^2 \cdot 1/((1 - cos(x))^\alpha/x^2) $
Si vede subito che quest'ultimo limite vale $2$ per $\alpha = 1$, come ti ha già scritto Mephlip.
"paolo1712":
Per quanto riguarda la risoluzione di $\lim_(x \to0^+) log(sin^2(x)+1)/|cos(x)-1|^\alpha$ mi sono mosso sfruttando la notazione o-piccolo
Se posso, secondo me stai facendo delle fatiche inutili...
Quel limite si risolve facilissimamente coi limiti notevoli:
$\lim_(x \to 0^+) log(sin^2(x)+1)/|cos(x)-1|^\alpha = \lim_(x \to 0^+) log(sin^2(x)+1)/|1 - cos(x)|^\alpha =$
$ = \lim_(x \to 0^+) log(sin^2(x)+1)/sin^2(x) \cdot sin^2(x)/x^2 \cdot 1/((1 - cos(x))^\alpha/x^2) $
Si vede subito che quest'ultimo limite vale $2$ per $\alpha = 1$, come ti ha già scritto Mephlip.
Si hai ragione, diciamo che sto cercando di imparare ad usare bene l'o-piccolo.
In effetti è facile studiare il valore di $alpha$ in questo modo.
Cercherò di essere più saggio
In effetti è facile studiare il valore di $alpha$ in questo modo.
Cercherò di essere più saggio
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