Studio di funzione davvero semplice (alcune delucidazioni)
Ciao ragazzi, con piacere sono entrato a far parte della community! Vorrei chiedervi una mano riguardo a questo studio di funzione soffermandomi in particolare su alcuni punti che vorrei chiarire con voi!
Innanzitutto farò vedere come ho agito e poi spero possiate aiutarmi.
La funzione in questione è questa: \( f(x)=\surd (2x^2-1) \)
Dunque
1) dominio: Ho posto \( 2x^2-1\geq 0 \) e ne ho ricavato che la funzione risulta definita per valori esterni in: $x>=sqrt2/2$ \( \vee \) $x<-sqrt2/2$ Ps. correggete ogni singola cosa se sbaglio please
2) intersezione assi: ho rilevato che nel sistema con $y=0$ e dunque con l'intersezione con l'asse x, il grafico della funzione lo ritroverò nelle coordinate $A:(sqrt2/2;0) B:(-sqrt2/2;0)$
3) segno: esattamente come il dominio si ripetono i valori esterni $x>=sqrt2/2$ \( \vee \) $x<-sqrt2/2$
4) limiti: Non ci sarebbe molto da dire: \( \lim_{x\rightarrow \infty } \) e la funzione procede regolarmente a \( \infty \)
Correggetemi ancora ovviamente in qualsiasi punto se sbaglio: arriva il punto che mi interessa.
5) derivata prima: $f'(x)=2x/sqrt(2x^2-1)$ e a questo punto studio del segno per individuare crescenza e decrescenza
6) ho posto $f'(x)>0$ e ho ottenuto il numeratore $x>0$ e al denominatore $x>sqrt2/2$ \( \vee \) $x<-sqrt2/2$
Dunque il punto è questo: posto che la funzione non è in alcun modo definita in $-sqrt2/2<=x<=sqrt2/2$ , come devo comportarmi nel momento in cui nella mia derivata prima figura al numeratore $x>0$? Altra domanda: nel momento in cui vado a rappresentare in uno schema sul quaderno per trovare dove la funzione è crescente e dove è decrescente il suddetto valore al numeratore non definito nella funzione, devo inserirlo nello schema o no? Il risultato che ho ottenuto (ed è questo che mi interessa) è che la funzione risulterà crescente per $x>sqrt2/2$ mentre decrescente per $x<-sqrt2/2$ . Ovviamente non ne sono sicuro e vi sto chiedendo un aiuto perchè non mi è chiaro questo punto. Come mi devo comportare con la derivata in quell'intervallo in cui la funzione non è definita? Spero possiate aiutarmi in termini piuttosto semplici senza troppi tecnicismi.
Innanzitutto farò vedere come ho agito e poi spero possiate aiutarmi.
La funzione in questione è questa: \( f(x)=\surd (2x^2-1) \)
Dunque
1) dominio: Ho posto \( 2x^2-1\geq 0 \) e ne ho ricavato che la funzione risulta definita per valori esterni in: $x>=sqrt2/2$ \( \vee \) $x<-sqrt2/2$ Ps. correggete ogni singola cosa se sbaglio please
2) intersezione assi: ho rilevato che nel sistema con $y=0$ e dunque con l'intersezione con l'asse x, il grafico della funzione lo ritroverò nelle coordinate $A:(sqrt2/2;0) B:(-sqrt2/2;0)$
3) segno: esattamente come il dominio si ripetono i valori esterni $x>=sqrt2/2$ \( \vee \) $x<-sqrt2/2$
4) limiti: Non ci sarebbe molto da dire: \( \lim_{x\rightarrow \infty } \) e la funzione procede regolarmente a \( \infty \)
Correggetemi ancora ovviamente in qualsiasi punto se sbaglio: arriva il punto che mi interessa.
5) derivata prima: $f'(x)=2x/sqrt(2x^2-1)$ e a questo punto studio del segno per individuare crescenza e decrescenza
6) ho posto $f'(x)>0$ e ho ottenuto il numeratore $x>0$ e al denominatore $x>sqrt2/2$ \( \vee \) $x<-sqrt2/2$
Dunque il punto è questo: posto che la funzione non è in alcun modo definita in $-sqrt2/2<=x<=sqrt2/2$ , come devo comportarmi nel momento in cui nella mia derivata prima figura al numeratore $x>0$? Altra domanda: nel momento in cui vado a rappresentare in uno schema sul quaderno per trovare dove la funzione è crescente e dove è decrescente il suddetto valore al numeratore non definito nella funzione, devo inserirlo nello schema o no? Il risultato che ho ottenuto (ed è questo che mi interessa) è che la funzione risulterà crescente per $x>sqrt2/2$ mentre decrescente per $x<-sqrt2/2$ . Ovviamente non ne sono sicuro e vi sto chiedendo un aiuto perchè non mi è chiaro questo punto. Come mi devo comportare con la derivata in quell'intervallo in cui la funzione non è definita? Spero possiate aiutarmi in termini piuttosto semplici senza troppi tecnicismi.
Risposte
Provo a risponderti!
- Sia nel punto 1 che nel 3 non hai messo il minore o uguale a $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (suppongo sia un errore di codice)
-Per il punto 4: non hai controllato se vi sono o meno asintoti obliqui ( e ci sono)
-Per il punto 6) devi tener conto che le regioni in cui la funzione non è definita non sono di nostro interesse e qualunque risultato ottieni è da scartare. Fai così: risolvi la disequazione e metti a sistema il risultato con il tuo dominio della derivata prima: da ciò estrai le tue soluzione. Nel nostro caso il tutto si traduce in $x>\frac{\sqrt{2}}{2}$. Puoi fare uno schema di questo tipo
--------------$-\frac{\sqrt{2}}{2}$////0////$\frac{\sqrt{2}}{2}$++++++++++
Da cui si evince che la funzione decresce prima di $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ e cresce dopo $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Come vedi nei risultati ho scartato con /// la regione $ -\frac{\sqrt{2}}{2}
I risultati che non ho citato sono corretti! Hai provato inoltre ad abbozzare il grafico e a compararlo con uno svolto da qualche tool (come geogebra)? Da lì puoi capire se hai sbagliato qualcosa o riflettere sulle operazioni che fai
- Sia nel punto 1 che nel 3 non hai messo il minore o uguale a $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (suppongo sia un errore di codice)
-Per il punto 4: non hai controllato se vi sono o meno asintoti obliqui ( e ci sono)
-Per il punto 6) devi tener conto che le regioni in cui la funzione non è definita non sono di nostro interesse e qualunque risultato ottieni è da scartare. Fai così: risolvi la disequazione e metti a sistema il risultato con il tuo dominio della derivata prima: da ciò estrai le tue soluzione. Nel nostro caso il tutto si traduce in $x>\frac{\sqrt{2}}{2}$. Puoi fare uno schema di questo tipo
--------------$-\frac{\sqrt{2}}{2}$////0////$\frac{\sqrt{2}}{2}$++++++++++
Da cui si evince che la funzione decresce prima di $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ e cresce dopo $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Come vedi nei risultati ho scartato con /// la regione $ -\frac{\sqrt{2}}{2}
I risultati che non ho citato sono corretti! Hai provato inoltre ad abbozzare il grafico e a compararlo con uno svolto da qualche tool (come geogebra)? Da lì puoi capire se hai sbagliato qualcosa o riflettere sulle operazioni che fai
Pubblico la foto perchè non avrei saputo fare lo schema con gli strumenti del forum! Chiedo scusa. (la domanda è: lo schemino così andrebbe bene? ) Non ho capito bene il punto in cui mi dici di risolvere la disequazione (che è la derivata prima) e di mettere a sistema le soluzioni della derivata prima maggiore di 0 con il dominio della derivata prima. Potresti farmi i passaggi sequenziali? Scusa il disturbo!
Ti rispondo solo adesso: lo schema non si sarà caricato ma ci sono diversi modi per farlo, l'importante è decifrarlo correttamemte. Per quanto riguarda la derivata prima, forse ti ho confuso con una mia visione di vedere.
Di solito, nel disegnare una funzione cancello le zone in cui non esiste. Allo stesso modo, nello schemino della derivata cancello i punti dove non è definita così da non dimenticarne. Ma non è una regola, come hai operato tu è giusto!
Una cosa che mi sono dimenticato di dirti: hai controllato se ci sono punti di non derivabilità (ce ne sono!)?
Di solito, nel disegnare una funzione cancello le zone in cui non esiste. Allo stesso modo, nello schemino della derivata cancello i punti dove non è definita così da non dimenticarne. Ma non è una regola, come hai operato tu è giusto!
Una cosa che mi sono dimenticato di dirti: hai controllato se ci sono punti di non derivabilità (ce ne sono!)?
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