Studio di funzione [Crescenza e decrescenza]

[ShaxV]

Buongiorno, vorrei chiedere un consiglio riguardo lo studio della crescenza e decrescenza nello studio di funzione.
In generale so di dover studiare il segno della derivate prima oppure in alternativa utilizzare Taylor e studiare i punti dove si annulla la derivata pari e dove non si annulla quella dispari. Tuttavia mi sono trovato spesso nella situazione di dover studiare delle funzioni in cui comparivano un logaritmo e diverse altre funzioni, so di dover studiare "graficamente" la situazione, ma dato che, se non sbaglio, queste sono delle funzioni trascendenti e che nel mio programma di analisi 1 non sono state inserite non posso utilizzarle. Quello che volevo chiedere è : c'è un qualche modo alternativo, utilizzando ad esempio i limiti, per studiare la crescenza di una funzione senza dover utilizzare le funzioni trascendenti ?

Ad esempio, (xlogx)/(x-1) nello studio della derivata prima mi trovo questa funzione trascendente, e lo studio della derivata seconda non è proprio rapido, potrei ad esempio fare qualche considerazione sulla base del fatto che il limite che tende a zero fa infinito mentre se x tende a 1 va ad 1/2 ?

Grazie in anticipo

[quantunquemente]

se non ho sbagliato i calcoli,il numeratore della derivata prima è $g(x)=x-lnx-1$
fai un rapido studio di $g(x)$(comportamento agli estremi del dominio,derivata prima)

[anto_zoolander]

si il numeratore è proprio $g(x)=x-lnx-1$ che inoltre è facile da risolvere graficamente. si tratta di risolvere $e^(x-1)=x$ che si risolve banalmente traslando verso destra $e^x$ e l'uguaglianza si ottiene per $x=1$ che è una discontinuità di terzo tipo per $f$ quindi non ammette punti stazionari. Inoltre $e^(x-1)>x$ è verificata sempre, perché nell'unico punto in cui si intersecano la funzione nemmeno esiste.
Al limite puoi ridefinire la funzione in x=1 per continuità.

$lim_(x->1^-)f(x)=lim_(x->1^+)f(x)=1$

$lim_(x->1^-)(xlogx)/(x-1)$ applicando de l'Hôpital si risolve subito: $lim_(x->1^-)(logx+(1/x)x)/1=1$ lo stesso si può notare che vale per $x->1^+$ quindi per continuità $f(1)=1$

lo stesso lo si potrebbe fare per la derivata prima.

$lim_(x->1^-)(x-lnx-1)/(x-1)^2=[0/0]=lim_(x->1^-)(1-1/x)/(2(x-1))=[0/0]=lim_(x->1^-)(1/x^2)/2=1/2$ lo stesso vale per $x->1^+$ quindi imponendo $f'(1)=1/2$ la continuità viene estesa anche alla derivata prima. Questo significa comunque che non ha punti stazionari.