Studio di funzione con valore assoluto
Salve,
ho studato la seguente funzione, però ho un dubbio circa il valore assoluto...
$ y=sqrt (1-|e^2x-1|)$
Ho "spezzato" la funzione in due parti, rispettivamente, per x>=0 e x<0. Per x>=0 non ho avuto alcun problema.
Il dubbio sta nel dominio per x<0. Infatti, la funzione diventa: $y=sqrt(1+e^2x-1)$ ossia $e^x$. Ora, la funzione exp è palesemente definita in tutto $R$; tuttavia, stiamo studiando per x<0, quindi, per tale "vincolo", ho pensato che l'insieme di definizione sia da meno infinito a zero escluso! Insomma, sul grafico la curva di questo pezzetto di funzione dovrebbe partire da meno infinito e non proseguire oltre lo zero, visto che stiamo considerando il caso x<0.
E' corretto, oppure "sto fantasticando"?;-)
ho studato la seguente funzione, però ho un dubbio circa il valore assoluto...
$ y=sqrt (1-|e^2x-1|)$
Ho "spezzato" la funzione in due parti, rispettivamente, per x>=0 e x<0. Per x>=0 non ho avuto alcun problema.
Il dubbio sta nel dominio per x<0. Infatti, la funzione diventa: $y=sqrt(1+e^2x-1)$ ossia $e^x$. Ora, la funzione exp è palesemente definita in tutto $R$; tuttavia, stiamo studiando per x<0, quindi, per tale "vincolo", ho pensato che l'insieme di definizione sia da meno infinito a zero escluso! Insomma, sul grafico la curva di questo pezzetto di funzione dovrebbe partire da meno infinito e non proseguire oltre lo zero, visto che stiamo considerando il caso x<0.
E' corretto, oppure "sto fantasticando"?;-)
Risposte
Sei sicuro di avere scritto correttamente il testo? Il ragionamento che hai fatto di seguito direbbe di no.
La funzione non è per caso $ y=sqrt (1-|e^(2x)-1|)$?
Se la funzione è quella che ho riportto, il tuo ragionamento è corretto.
La funzione non è per caso $ y=sqrt (1-|e^(2x)-1|)$?
Se la funzione è quella che ho riportto, il tuo ragionamento è corretto.
Sì sì, la funzione è proprio quella che hai scritto tu!^^
Però mi togli una piccola curiosità?:D Cosa cambia fra la funzione che ho scritto io e quella che hai riportato tu? Sono identiche^^
Però mi togli una piccola curiosità?:D Cosa cambia fra la funzione che ho scritto io e quella che hai riportato tu? Sono identiche^^
cambia..
Cambia,visto che devi discutere il modulo. $|e^2x-1|=e^2x-1$ quando $x>1/e^2$. Quindi devi distinguere i due casi,a seconda se la x sia maggiore o minore di $1/e^2$. Nella funzione scritta da amelia,invece,hai $|e^(2x)-1|=e^(2x)-1$ quando $x>0$ e quindi con il ragionamento che hai fatto tu.
Se tu hai una funzione, indipendentemente dalla "presenza" o meno di valori assoluti o altri mostriciattoli, puoi sempre studiarla "a pezzi".
Data $f:A \to RR$, puoi definire $g$ ed $h$ (o anche più funzioni, mica devi restringerti per forza a due) così:
prendi $X \subseteq RR$ e definisci:
$g$ come la restrizione di $f$ a $A \cap X$
$h$ come la restrizione di $f$ a $A \cap (RR \backslash X)$
Ovviamente, $g$ ed $h$ avranno come insieme di definizione rispettivamente $A \cap X$ e $A \cap (RR \backslash X)$
Ad esempio, se hai $f(x) = |x|$ (qui $A = RR$), puoi prendere $X = [0,+oo[$, per cui $RR \backslash X = ]-oo, 0[$.
°°°°°°°°°°°°°°°°°
Tieni presente che non è obbligatorio "spezzare" la $f$ su due insiemi disgiunti.
Potresti prendere due sottoinsiemi $X,Y$ di $RR$ t.c. $X \cup Y = RR$ e definire:
$g$ come la restrizione di $f$ a $A \cap X$
$h$ come la restrizione di $f$ a $A \cap Y$
Ovviamente, per definizione, $g(x) = h(x)$ se $x \in A \cap (X \cap Y)$.
Ad esempio, se hai $f(x) = |x|$, puoi prendere $X = [0,+oo[$ ed $Y = ]-oo, 0]$.
°°°°°°°°°°°°°°°°°
Ovviamente l'aspetto a cui bisogna prestare attenzione è la "ricucitura".
Ovvero, come passare dalle proprietà di $g$ ed $h$ a proprietà di $f$.
Io preferisco, con il valore assoluto, "spezzare" il dominio usando il secondo approccio.
Data $f:A \to RR$, puoi definire $g$ ed $h$ (o anche più funzioni, mica devi restringerti per forza a due) così:
prendi $X \subseteq RR$ e definisci:
$g$ come la restrizione di $f$ a $A \cap X$
$h$ come la restrizione di $f$ a $A \cap (RR \backslash X)$
Ovviamente, $g$ ed $h$ avranno come insieme di definizione rispettivamente $A \cap X$ e $A \cap (RR \backslash X)$
Ad esempio, se hai $f(x) = |x|$ (qui $A = RR$), puoi prendere $X = [0,+oo[$, per cui $RR \backslash X = ]-oo, 0[$.
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Tieni presente che non è obbligatorio "spezzare" la $f$ su due insiemi disgiunti.
Potresti prendere due sottoinsiemi $X,Y$ di $RR$ t.c. $X \cup Y = RR$ e definire:
$g$ come la restrizione di $f$ a $A \cap X$
$h$ come la restrizione di $f$ a $A \cap Y$
Ovviamente, per definizione, $g(x) = h(x)$ se $x \in A \cap (X \cap Y)$.
Ad esempio, se hai $f(x) = |x|$, puoi prendere $X = [0,+oo[$ ed $Y = ]-oo, 0]$.
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Ovviamente l'aspetto a cui bisogna prestare attenzione è la "ricucitura".
Ovvero, come passare dalle proprietà di $g$ ed $h$ a proprietà di $f$.
Io preferisco, con il valore assoluto, "spezzare" il dominio usando il secondo approccio.
Cambia,visto che devi discutere il modulo. $|e^2x-1|=e^2x-1$ quando $x>1/e^2$. Quindi devi distinguere i due casi,a seconda se la x sia maggiore o minore di $1/e^2$. Nella funzione scritta da amelia,invece,hai $|e^(2x)-1|=e^(2x)-1$ quando $x>0$ e quindi con il ragionamento che hai fatto tu.
Ho capito, ma quella che avevo scritto io era identica! Non avevo messo le parentesi su (2x), in modo che si comprendesse meglio che è e^(2x), ma nell'espressione da me riportata comunque è abbastanza chiaro che 2x è l'esponente di e!
Ecco xké, guardandole e riguardandole, ho pensato: ma, parentesi a parte, cos'hanno di diverso?^^
Fioravante, grazie infinite per la precisissima spiegazione!!
Edit: ah no...scusatemi, come l'avevo scritta io, cioè senza parentesi, sembrava che fosse tutto elevato, 1 compreso! Scusatemi^^
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