Studio di Funzione con valore assoluto

[The Unborn]

Salve ragazzi, ho un problema con un esercizio che chiede lo studio di una funzione e il suo grafico.
La funzione è la seguente:

$ f(x) = (|3-x|)/(3-x) (1/(ln(x-1)) +3 -x) $

Ho provato a studiarla per $ x $ non negativa e dunque $ >= 0 $ e il campo di esistenza è dunque tutta $ R - {2} $ ma così facendo non ho potuto studiare il tipo di funzione (pari o dispari) in quanto ho preso solo la parte dove la x è positiva della funzione e arrivato all'intersezione con gli assi non sono riuscito ad andare avanti.

Sarà che ormai ho il cervello in pappa dato che studio da un po' ininterrottamente e lunedì ho l'esame ma proprio non riesco a svolgere questo esercizio, chiedo una mano a voi gentili signori, grazie in anticipo.

[Magma1]

Le condizioni per determinare il dominio sono:

${ ( 3-x ne 0 ),( ln(x-1) ne 0 ),( x-1 >0 ):} hArr { ( x ne 3 ),( x ne 2 ),( x>1 ):}$

pertanto si ha che

$D_f = (1,2)uu(2,3)uu(3,+oo)$

Inoltre

$abs(3-x)/(3-x)={ ( -1 ; if x>=3 ),( 1 ; if x<3):}$

Quindi si ottiene

$f(x)={ ( 1/(ln(x-1)) +3 -x ; if x in (1,2)uu(2,3) ),( -(1/(ln(x-1)) +3 -x) ; if x >=3):}$

Ora prova a proseguire

EDIT: corretto espressione funzione modulo

[The Unborn]

- Il tipo di funzione non può essere definito in quanto la funzione non è definita per x < 0, dico bene o dovrei verificare se è periodica o meno?


- Intersezione con gli assi, ho studiato il caso in cui $ x in (1,2) uu (2,3) $ :
Tramite il limite di x che tende a 1 da destra e 2 da sinistra ho ottenuto rispettivamente i risultati $ -2 $ e $ -oo $ arrivando alla conclusione che c'è un asintoto verticale in $ x=2 $ e che la funzione non interseca l'asse delle x nell'intervallo $ (1,2) $ in quanto continua in tale intervallo;
Tramite il limite di x che tende a 2 da destra e 3 da sinistra ho ottenuto rispettivamente i risultati $ -oo $ e $ -1/ln2 $ che, nel secondo caso, è negativo e dunque neanche nell'intervallo $ (2,3) $ la funzione interseca l'asse delle x.

Procedo con $ x >= 3 $:
il limite per x che tende a 3 da destra è $ 1/ln2 $ dunque incontro una discontinuità non eliminabile perché l'opposto del limite di 3 da sinistra;
il limite per x che tende a + infinito vale $ -oo $ dunque la funzione da positiva torna negativa e da qualche parte intersecherà l'asse delle x.

Cerchiamolo:
${ ( y=0 ),( 1/(ln(x-1)) + 3 - x = 0 ):}$
${ ( y=0 ),( x= 1/ln(x-1)+3 ):}$
${ ( y=0 ),( xln(x-1)-3ln(3-x)=1 rArr x=4):}$

- Positività e negatività:
da quanto scoperto fino ad ora giungo alla conclusione che $ f(x) > 0 $ per ogni $ x in [3,4] $ e $ f(x) <0 $ per ogni $ x in (1,2) uu (2,3) uu (4,+oo) $

Fino a qui sto andando bene?

[Magma1]

Ciao,

Ho corretto l'espressione di $f(x)$, ché avevo sciolto male il modulo

"The Unborn":- Il tipo di funzione non può essere definito in quanto la funzione non è definita per x < 0,

Quindi $sqrt(x)$ non è definita in $[0,+oo)$?

"The Unborn":
Tramite il limite di x che tende a 1 da destra e 2 da sinistra ho ottenuto rispettivamente i risultati $ -2 $ e $ -oo $ arrivando alla conclusione che c'è un asintoto verticale in $ x=2 $

$lim_(x->1^+) f(x)=2$

"The Unborn":che la funzione non interseca l'asse delle x nell'intervallo $ (1,2) $

Falso, guarda qui https://www.wolframalpha.com/input/?i=abs(3+-+x)+%2F+(3+-+x)*+(1+%2F+ln(x+-+1)+%2B+3+-+x)%3D0

"The Unborn": in quanto continua in tale intervallo;

La motivazione anche è falsa. Prendi ad esempio $x-1$, è continua in tutto $RR$ ed intersecca l'asse delle $x$ in $x=1$

"The Unborn":
Tramite il limite di x che tende a 2 da destra e 3 da sinistra ho ottenuto rispettivamente i risultati $ -oo $ e $ -1/ln2 $ che, nel secondo caso, è negativo e dunque neanche nell'intervallo $ (2,3) $ la funzione interseca l'asse delle x.

$lim_(x->2^+) f(x) =+oo$
$lim_(x->2^-) f(x)=-00$
$lim_(x->3^-) f(x)=1/ln(2)$

"The Unborn":
Procedo con $ x >= 3 $:
il limite per x che tende a 3 da destra è $ 1/ln2 $ dunque incontro una discontinuità non eliminabile perché l'opposto del limite di 3 da sinistra;
il limite per x che tende a + infinito vale $ -oo $ dunque la funzione da positiva torna negativa e da qualche parte intersecherà l'asse delle x.

$lim_(x->3^+) f(x)=-1/ln(2)$
$lim_(x->+oo) f(x)=+oo$