Studio di funzione con radice e modulo

[Sossella1]

Buonasera a tutti.
Oggi mi sono imbattuto nello studio della seguente funzione: $ f(x)=sqrt(|x^2-4|)-x $ Vi dico come ho proceduto
Dominio: $ |x^2-4|>=0 $ sempre perchè è un quadrato, perciò il dominio è tutto $ R $
Limiti agli estremi del dominio (-inf,+inf).
$ lim_(x -> +oo ) (|x^2-4|-x^2)/(sqrt(|x^2-4|)+x)=0^- $
$ lim_(x -> -oo ) sqrt(|x^2-4|)-x=lim_(x -> -oo)(|x^2-4|-x^2)/(sqrt(|x^2-4|)+x)=+oo $ asintoto obliquo.
Trovo l'asintoto obliquo.
$ lim_(x -> -oo ) [f(x)/x]= lim_(x -> +oo ) (sqrt(|x^2-4|)-x)/x=-2 $
$ lim_(x -> -oo ) [f(x)+2x]= lim_(x -> -oo ) (sqrt(|x^2-4|)-x)+2x=lim_(x -> -oo ) (sqrt(|x^2-4|)+x=0 $
Quindi è la retta y=-2x
Determinare il segno di f.
e qui mi fermo a $ f(x)=sqrt(|x^2-4|)-x>=0 -> sqrt(|x^2-4|)>=x $
In teoria dovrei studiare il sistema formato dalle soluzioni di
a) per $ x>=0 $ si ha $ |x^2-4|>=0 -> x^2-4>=0 -> x<=-2 $ U $ x>=2 $
e risolvere i sistemi $ { ( x^2-4>=0 ),( x>=0 ),( x^2-4>=x^2 ):} U { ( x^2-4>=0 ),( x<=0 ):} $
giusto? Mi sa che ho fatto un sacco di confusione nello studio del segno.
E nello studio per $ x<0 $ procedo sempre con quale sistema?

Ringrazio ancora chi vorrà aiutarmi

[@melia]

Fino a

"Sossella":B
Determinare il segno di f.
e qui mi fermo a $ f(x)=sqrt(|x^2-4|)-x>=0 -> sqrt(|x^2-4|)>=x $

va tutto bene.Vero che dopo hai fatto un po' di confusione.
Si tratta di risolvere la disequazione irrazionale $sqrt(|x^2-4|)>=x $, è quella che va risolta con due sistemi
${ ( C.E.=RR ),( x>=0 ),( |x^2-4|>=x^2 ):} uu { ( C.E.=RR),( x<=0 ):}$
La grana è nel primo sistema che contiene anche il valore assoluto, mentre il secondo sistema mostra immediatamente la sua soluzione $x<=0$. Il primo sistema va diviso in due sistemi distinti per togliere il valore assoluto:
${ ( C.E.=RR ),( x>=0 ),(x^2-4>=0), ( x^2-4>=x^2 ):} uu { ( C.E.=RR ),( x>=0 ),(x^2-4<0), ( 4-x^2>=x^2 ):} $
nel primo dei due sistemi suddetti la quarta disequazione è impossibile, quindi il sistema diventa impossibile, resta
${ ( C.E.=RR ),( x>=0 ),(x^2-4<0), ( 4-x^2>=x^2 ):} $ che diventa ${ ( C.E.=RR ),( x>=0 ),(-2 $f(x) >=0 => x<=sqrt2$
la funzione è negativa quando esiste e non è $>=0$, quindi $f(x) <0 => x>sqrt2$

[Sossella1]

"@melia":Fino a [quote="Sossella"]B
Determinare il segno di f.
e qui mi fermo a $ f(x)=sqrt(|x^2-4|)-x>=0 -> sqrt(|x^2-4|)>=x $

va tutto bene.Vero che dopo hai fatto un po' di confusione.
Si tratta di risolvere la disequazione irrazionale $sqrt(|x^2-4|)>=x $, è quella che va risolta con due sistemi
${ ( C.E.=RR ),( x>=0 ),( |x^2-4|>=x^2 ):} uu { ( C.E.=RR),( x<=0 ):}$
La grana è nel primo sistema che contiene anche il valore assoluto, mentre il secondo sistema mostra immediatamente la sua soluzione $x<=0$. Il primo sistema va diviso in due sistemi distinti per togliere il valore assoluto:
${ ( C.E.=RR ),( x>=0 ),(x^2-4>=0), ( x^2-4>=x^2 ):} uu { ( C.E.=RR ),( x>=0 ),(x^2-4<0), ( 4-x^2>=x^2 ):} $
nel primo dei due sistemi suddetti la quarta disequazione è impossibile, quindi il sistema diventa impossibile, resta
${ ( C.E.=RR ),( x>=0 ),(x^2-4<0), ( 4-x^2>=x^2 ):} $ che diventa ${ ( C.E.=RR ),( x>=0 ),(-2 $f(x) >=0 => x<=sqrt2$
la funzione è negativa quando esiste e non è $>=0$, quindi $f(x) <0 => x>sqrt2$[/quote]

Ciao, e grazie della risposta!
Ascolta, nel secondo sistema da risolvere, non bisogna porre $ x<0 $, così da avere l'altro studio del valore assoluto?

"@melia":B ${ ( C.E.=RR ),( x>=0 ),(x^2-4>=0), ( x^2-4>=x^2 ):} uu { ( C.E.=RR ),( x>=0 ),(x^2-4<0), ( 4-x^2>=x^2 ):} $

[/quote]

[@melia]

Non serve sdoppiare il valore assoluto quando $x<0$ perché la disequazione è sempre verificata:
$f(x)=sqrt(|x^2-4|)-x$ diventa la somma di due addendi entrambi positivi, quindi è positiva.

[Sossella1]

"@melia":Non serve sdoppiare il valore assoluto quando $x<0$ perché la disequazione è sempre verificata:
$f(x)=sqrt(|x^2-4|)-x$ diventa la somma di due addendi entrambi positivi, quindi è positiva.

Ho capito! Grazie mille