Studio di funzione con parametro

markAcid
Salve a tutti,

Sto preparando l'esame di Analisi 1 con un bel po di problemi sulla parte dello studio di funzione parametrico.
Vi volevo portare questo esercizio per avere qualche delucidazione.

Studiare la funzione $ e^(x^2)+alpha e^(-x^2) $ al variare di $ alpha $ .

1) Condizioni di esistenza: è definita per ogni x appartenente a R

2) Simmetrie: la funzione è pari in quanto f(x)=f(-x) e si può quindi limitare lo studio nell'intervallo [0,+inf)

3)Studio del segno: sviluppando la funzione si ottiene $ (e^(2x^2)+alpha)/e^(x^2) $ e essendo che l'esponenziale è da solo al denominatore è sempre positivo. Si può quindi studiare il numeratore ovvero $ e^(2x^2)+alpha >0 $

Qui sorgono i primi problemi.

Quello che posso fare è studiare $ e^(2x^2)> - alpha $, ovvero $ 2x^2>log(-alpha) $ .
Tracciando il grafico mi verrebbe da dire che è vera per qualsiasi valore di $ alpha $



Ma in realtà il mio libro dice questo e non ho idea di come poterlo leggere dal grafico.




Ho provato a dare un valore ad alfa e trovare la coordinata $ y=log(-alpha) $ cercando di trovare analiticamente un punto per cui fosse realmente così, ma nulla.

Vi ringrazio per l'attenzione e aspetto una vostra risposta.

Risposte
Mephlip
Ciao!
$e^{2x^2}$ è monotòna crescente in $[0,\infty)$, pertanto nell'intervallo $[0,\infty)$ assume il suo valore minimo in $x=0$; perciò $e^{2x^2} \geq 1$ per ogni $x\in[0,\infty)$. Dunque se $\alpha> -1$ è $-\alpha<1$ e pertanto la disuguaglianza è sempre verificata perché il minimo della funzione è sempre più grande di $-\alpha$ in questa casistica (credo ci sia un errore tipografico, infatti distingue due volte $\alpha<-1$ e quindi suppongo che la prima volta intendesse $\alpha> -1$).
Gli altri casi mi sembrano abbastanza semplici (si discutono come per una normale disequazione e usando il fatto che l'esponenziale è sempre positivo), c'è qualcosa che non ti è chiaro anche lì?

Attenzione che devi studiare al variare di $x$, $\alpha$ si pensa fissato di volta in volta (è un parametro); il grafico che hai inserito ti confonde perché quello è un confronto tra $2x^2$ e $\log(-x)$, in tal caso si cercherebbero le intersezioni tra due funzioni della stessa variabile $x$. Ecco perché non ti torna.
Questo con il parametro è un altro tipo di problema.

markAcid
Allora ti ringrazio, in effetti il mio errore stava nel considerare $ alpha $ non come parametro ma come se fosse una variabile, andando quindi a studiare il grafico.

Voglio riportare un altro esercizio solo per vedere se effettivamente ho capito il discorso:

f(x)= $ (1-x)log(1-x)+alphax $

1) Condizioni di esistenza 1-x>0 =>x<1 e quindi per ogni x appartenente a (-inf,1)

2) Simmetrie: nessuna

3) Asintoti
$ lim_(x ->-oo ) x[(1-x)/(x) *log(1-x) + alpha] = -oo $
$ lim_(x ->-oo ) f(x)/x= lim_(x ->-oo ) [(1-x)/(x) *log(1-x) + alpha] = +oo $

quindi non ci sono Asintoti Orizzontali ne Obliqui. Inoltre:

$ lim_(x ->1- ) x [(1-x)/(x) *log(1-x) + alpha] = alpha $

4) Derivata Prima

$ f'(x)= log(1-x)-1+ alpha $

studio quando è >0

$ log(1-x)< alpha -1 $

alpha>1

prendo per esempio $ alpha=2 $ e ottengo $ log(1-x)<1 $



per cui si nota anche dal grafico che per l'intersezione che ricavo da $ f'(x) $ ovvero $1-e^(alpha-1) $ si ottiene
$x<1-e^(alpha-1) $ e quindi $ x=1-e^(alpha-1) $ punto di minimo.

alpha=1

ottengo $ log(1-x)<0 $ e quindi



e come si può notare dal grafico ho che è verificata per x>0 e quindi x=0 punto di minimo.

alpha<1

prendo per esempio $ alpha=0 $ e ottengo $ log(1-x)<-1 $



e come si può notare dal grafico l'intersezione $ 1-e^(alpha-1) $ questa volta si trova nel quarto quadrante e si ha ancora $x> 1-e^(alpha-1) $ e quindi $ x=1-e^(alpha-1) $ punto di minimo.

5) Derivata Seconda

$ f''(x)=1/(1-x $

e si ha che il numeratore è sempre maggiore di 0 mentre per il denominatore $ x<1 $ e dunque si ha che da -inf a 1 escluso la funzione è sempre convessa.

6)Grafici

Grazie allo studio fatto nella derivata prima posso distinguere i diversi casi conoscendo dove si troverà il minimo per ognuno di essi









Cosi con lo studio penso di aver risolto le problematica giusto?

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