Studio di funzione con logaritmo e valore assoluto

[pippopluto95]

Ciao a tutti!

C'è qualche buon anima che mi aiuterebbe con questo studio di funzione?

$ln |x/(x+1)|$

Mi servirebbe avere queste cose:
- dominio
- intersezioni con gli assi
- studio del segno
- asintoti
- derivata prima e suo studio del segno

Io ci ho rinunciato perchè mi blocco praticamente subito col valore assoluto.

Grazie mille in anticipo!

[Scotti1]

Ciao pippopluto

il logaritmo è definito per valori positivi dell'argomento ma quando c'è un valore assoluto l'argomento può assumere sia valori negativi che positivi cioè significa verificare:

$x/(x+1) >0$

e

$-x/(x+1) >0$

ora puoi proseguire tu.

Bye

[gio73]

credo sia più semplice ragionare così:

1) visto che c'è una frazione escludiamo che il denominatore si annulli, significa che $x!=...$
2) giacché il valore assoluto ci assicura che l'argomento del logaritmo sarà sempre non negativo, ci basta escludere che si annulli: ciò significa che il numeratore deve essere diverso da 0, cioè $x!=...$

[Frasandro]

Buongiorno,

evito di aprire una nuova discussione e vi riporto la funzione che dovrei studiare:

$ y = x ln |x| $

avrei bisogno di un aiuto dettagliato di un completo studio di funzione

Grazie, Saluti

[Brancaleone1]

L'aiuto dettagliato di un completo studio di funzione possiamo fornirtelo solo se ti metti in gioco (= solo se posti i tuoi tentativi), altrimenti non è più una richiesta di aiuto ma un vero e proprio scaricabarile

Comincia dal dominio per passare poi alla ricerca degli zeri, ai limiti e alle derivate prima e seconda.

[Frasandro]

Mi scuso se ho dato l'impressione di "scaricabarile", non volevo

Trascrivo il primo passaggio del mio studio di funzione: la determinazione del dominio.

$y1 = { ( x ln x ),( x>0 ):} $

$ y2 = { ( -x ln x ),( x<0 ):} $

La soluzione di y1 dovrebbe essere $ x>0 $ ;
In y2 procedo ponendo $ -x >0 $ che diventa $ x < 0 $ e $ x > 0 $ ... ammesso che sia giusto , y2 non ha soluzione? quindi il dominio è semplicemente x>0?

[Brancaleone1]

"Frasandro":Mi scuso se ho dato l'impressione di "scaricabarile", non volevo

Tranquillo

"Frasandro":
$y1 = { ( x ln x ),( x>0 ):} $
La soluzione di y1 dovrebbe essere $ x>0 $

Ok

"Frasandro":
$ y2 = { ( -x ln x ),( x<0 ):} $

Attento, il valore assoluto è sull'argomento del logaritmo, non sul logaritmo in sé (che può benissimo essere negativo).

[Frasandro]

"Frasandro":
$ y2 = { ( -x ln x ),( x<0 ):} $

Attento, il valore assoluto è sull'argomento del logaritmo, non sul logaritmo in sé (che può benissimo essere negativo).

mmm e quindi?! y2 non diventa così: $ { ( x<0 ),( -x>0),( x>0 ):} $ ?
$ x>0 $ sarebbe l'argomento del logaritmo...

[Brancaleone1]

"Frasandro":y2 non diventa così: $ { ( x<0 ),( -x>0),( x>0 ):} $ ?

No, perché quel sistema è impossibile, però $ln|x|$ esiste anche per valori negativi di $x$, quindi non è impostato bene.

[Frasandro]

arrivato quì non so più come procedere... il sistema y2 come deve essere impostato? non capisco come devo comportarmi con quel $ "-" $

[Brancaleone1]

La funzione, come hai scritto giustamente tu, può essere riscritta in due pezzi: per la parte $x>0$ non ci sono problemi, mentre per l'altra hai

${ ( xln|x| ),( x<0 ):} => xln(-x)$

perché solo l'argomento del logaritmo è nel modulo, la variabile esterna non è influenzata dal valore assoluto.
A questo punto il dominio è praticamente già trovato

[Frasandro]

per $ x<0 $ devo studiare $ x ln (-x) $ dividendolo in due parti, giusto? cioè $ x > 0 $ e $ -x > 0 $

[Brancaleone1]

No, è già stato diviso. Semplicemente:
*per $x>0$, la funzione è $xln(x)$;
*per $x<0$, la funzione è $xln(-x)$.

[Frasandro]

allora, cerco di ricapitolare: y1 = $ { ( x>0 ),( x ln x):} $ e y2 = $ { ( x<0 ),( x ln (-x) ):} $

y1 ha come soluzione $ x>0 $ ; e y2? non devo porre $ x>0 $ e $ -x>0 $ (argomento del logaritmo)?

[Brancaleone1]

"Frasandro":non devo porre $ x>0 $ e $ -x>0 $ (argomento del logaritmo)?

No, perché la condizione $x>0$ che vorresti imporre lo renderebbe impossibile.

Secondo me ti confonde la scrittura dei sistemi, perché pensi che vadano risolti quando in realtà lo sono già.
Mettiamola così: abbiamo la funzione

\[f\left( x \right) = x\ln \left| x \right|\]

Per trovarne il dominio, dobbiamo vedere dove si annulla il modulo. Poiché

\[\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}
x{\text{ if }} x \ge 0\\
- x{\text{ if }} x < 0
\end{array} \right.\]

allora

\[f\left( x \right) = x\ln \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}
x\ln \left( x \right){\text{ if }}x > 0\\
x\ln \left( { - x} \right){\text{ if }}x < 0
\end{array} \right.\]

che è già risolto (perché il logaritmo in entrambi i casi presenta un argomento positivo, quindi non c'è bisogno di studiare alcunché).
Detto ciò, il dominio è...? (l'ho praticamente scritto)

[Frasandro]

$ ] - oo , 0 [ uu ]0, +oo [ $ giusto?

[Brancaleone1]

Ora passiamo a studiare $f(x)=0$: per quali valori di $x$ la funzione si annulla?

[Frasandro]

dovrebbero essere

Asse x: $ y1 = { ( y=0 ),( x ln x=0 ):} $ cioè $ x=0 $ e $ x=1 $ (0,0), (1,0)

$ y2 = { ( y=0 ),( x ln (-x) ):} $ cioè $ x=0 $ e $ x=-1 $ (0,0), (-1,0)

per quanto riguarda l'asse Y, cioè x=0 , non ci sono intersezioni. Il valore 0 non appartiene al dominio

[Frasandro]

Per quanto riguarda lo studio della parità o disparità della funzione, f (x) secondo i miei calcoli dovrebbe essere dispari....

correggimi se sbaglio !! Grazie mille.

[quantunquemente]

"Frasandro":Per quanto riguarda lo studio della parità o disparità della funzione, f (x) secondo i miei calcoli dovrebbe essere dispari..

certainly

[Frasandro]

per quanto riguarda gli asintoti.....

$ lim_(x -> 0+) ln (x)/(1/x) = 0 $ applicando de l'Hopital.... quindi non c'è asintoto verticale

stessa cosa per $ lim_(x -> 0-) ln (-x)/(-1/x) = 0 $ no?!

$ lim_(x -> +oo ) ln (x)/(1/x) = -oo $ e $ lim_(x -> -oo ) ln (-x)/(-1/x) = +oo $ non ci sono asintoti orizzontali e cerco gli obliqui.... ci siamo?