Studio di funzione con logaritmo, dominio
Buongiorno a tutti, stamattina sono andato a dare lo scritto di analisi e ho trovato questo studio di funzione:
$f(x) = \frac{x}{1 + ln (x)}$
Ora, io ho sempre saputo che l'argomento del logaritmo è sempre maggiore di zero, però mettendo la funzione su wolfram alpha scopro che esiste anche a sinistra dell'asse delle Y.
Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi il motivo? Grazie in anticipo e se il mio messaggio dovesse essere poco chiaro o incompleto provvederò a spiegarmi meglio
$f(x) = \frac{x}{1 + ln (x)}$
Ora, io ho sempre saputo che l'argomento del logaritmo è sempre maggiore di zero, però mettendo la funzione su wolfram alpha scopro che esiste anche a sinistra dell'asse delle Y.
Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi il motivo? Grazie in anticipo e se il mio messaggio dovesse essere poco chiaro o incompleto provvederò a spiegarmi meglio
Risposte
A sinistra c'è anche la parte immaginaria.Ciò significa che siamo nel campo dei numeri complessi.
La funzione $y=log(x)$, se siamo nel campo dei numeri reali, ha come dominio $RR^+$
"Gi8":
Ciò significa che siamo nel campo dei numeri complessi.
La funzione $y=log(x)$, se siamo nel campo dei numeri reali, ha come dominio $RR^+$
Ok, sulla parte immaginaria sono d'accordo. Però c'è anche la parte reale, mentre io avevo considerato come dominio :
$x > 0 and x != \frac {1}{e}$
Infatti è quello il dominio: $x>0 ^^ x!=1/e$
allora come mai c'è la parte blu(reale) a sinistra dell'asse Y e $\lim_{x \to \0} \frac{x}{1+ln (x)}=0$ ?
0 è una valore che la funzione non può assumere
0 è una valore che la funzione non può assumere
In realtà wolfram plotta nello stesso grafico le funzioni reali a valori reali:
\(\text{Re}\left(\frac{x}{1+\log(x)}\right)\) e \(\text{Im}\left(\frac{x}{1+\log(x)}\right)\)
E' chiaro che se \(x>0\wedge x\ne \frac{1}{e}\) allora \(\text{Im}\left(\frac{x}{1+\log(x)}\right)=0\), quindi ti plotta solo la parte reale.
Se \(x<0\) il logaritmo diventa complesso, ovvero ti restituisce numeri complessi, di conseguenza hai sia la parte reale che quella immaginaria.
Sul fatto del limite non capisco la tua perplessità, mi pare che \(0\) sia un punto di accumulazione per il dominio della tua funzione quindi è possibile determinare il limite destro.
\(\text{Re}\left(\frac{x}{1+\log(x)}\right)\) e \(\text{Im}\left(\frac{x}{1+\log(x)}\right)\)
E' chiaro che se \(x>0\wedge x\ne \frac{1}{e}\) allora \(\text{Im}\left(\frac{x}{1+\log(x)}\right)=0\), quindi ti plotta solo la parte reale.
Se \(x<0\) il logaritmo diventa complesso, ovvero ti restituisce numeri complessi, di conseguenza hai sia la parte reale che quella immaginaria.
Sul fatto del limite non capisco la tua perplessità, mi pare che \(0\) sia un punto di accumulazione per il dominio della tua funzione quindi è possibile determinare il limite destro.
Giusto, ho fatto un po' di confusione con i complessi, effettivamente anche loro hanno la parte reale. E il punto di accumulazione non mi era nemmeno passato per la mente, accidenti a me. Grazie mille!
Prego, figurati!
Mi scuso con @Gi8 per essermi intromesso nella discussione, è la mia mano che voleva rispondere, non sono riuscito a trattenerla
Mi scuso con @Gi8 per essermi intromesso nella discussione, è la mia mano che voleva rispondere, non sono riuscito a trattenerla
"Mathematico":
Mi scuso con @Gi8 per essermi intromesso nella discussione, è la mia mano che voleva rispondere, non sono riuscito a trattenerla
Hai fatto benissimo, anche perchè hai detto cose più che giuste.Non è importante chi dice, ma cosa si dice.
Se in futuro ti ricapita, non esitare a dire la tua
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