Studio di funzione complicato
Salve ragazzi, ho un po' di problemi con gli studi di funzioni... Limiti e derivate non sono grandi problemi, però quando mi trovo di fronte a studi di funzione un po' più complessi non riesco a mettere un insieme tutte le informazioni... Mi aiutate mostrandomi passo passo come svolgereste questo:
$ f(x)=(e^(-2/x))(|x-1|) $
$ f(x)=(e^(-2/x))(|x-1|) $
Risposte
Comincia tu ...
In cosa consiste uno studio di funzione ? Cosa si fa di solito ? Ecco, inizia da lì ...
In cosa consiste uno studio di funzione ? Cosa si fa di solito ? Ecco, inizia da lì ...
Allora io farei così:
Dominio:
La funzione è definita in R-[0]
Essa non presenta simmetrie
Positività:
f(x) risulta essere sempre positiva.
Comportamento al limite:
$ lim_(x->+oo) f(x) = +oo $
$ lim_(x->0^+) f(x)= 0^+ $
$ lim_(x->0^-) f(x)= +oo $
x=0 è un asintoto verticale sinistro
$ lim_(x->-oo) f(x)= +oo $
$ lim_(x->+oo) f(x)/x= lim_(x->+oo)(x(1-1/x))/(xe^(2/x))= 1 $
$ lim_(x->-oo) f(x)/x= -1 $
$ lim_(x->+oo) f(x) -x = -3 $
$ lim_(x->-oo) f(x) +x = 3 $
Questi ultimi due limiti li ho risolti con gli sviluppi di Taylor... ci sarebbe un modo per risolverli senza ricorrere agli sviluppi?
y=x-3 e y=-x+3 sono asintoti obliqui
Con la derivata prima ho qualche problema, non riesco a stabilire quando sia positiva o meno...
Dominio:
La funzione è definita in R-[0]
Essa non presenta simmetrie
Positività:
f(x) risulta essere sempre positiva.
Comportamento al limite:
$ lim_(x->+oo) f(x) = +oo $
$ lim_(x->0^+) f(x)= 0^+ $
$ lim_(x->0^-) f(x)= +oo $
x=0 è un asintoto verticale sinistro
$ lim_(x->-oo) f(x)= +oo $
$ lim_(x->+oo) f(x)/x= lim_(x->+oo)(x(1-1/x))/(xe^(2/x))= 1 $
$ lim_(x->-oo) f(x)/x= -1 $
$ lim_(x->+oo) f(x) -x = -3 $
$ lim_(x->-oo) f(x) +x = 3 $
Questi ultimi due limiti li ho risolti con gli sviluppi di Taylor... ci sarebbe un modo per risolverli senza ricorrere agli sviluppi?
y=x-3 e y=-x+3 sono asintoti obliqui
Con la derivata prima ho qualche problema, non riesco a stabilire quando sia positiva o meno...
Fin qui mi sembra tutto in ordine, e il calcolo dei limiti per l'asintoto obliquo vanno fatti usando Taylor (o, meglio, confronti asintotici). Per la derivata, scriviti la funzione spezzandola in due
$$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
-e^{-x/2}(x-1) & & x < 1\\
e^{-x/2}(x-1) & & x\ge 1
\end{array}\right.$$
e studia la derivata sui rispettivi intervalli (nota che la derivata su $(-\infty,-1)$ ha segno opposto a quella su $[1,+\infty)$)
$$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
-e^{-x/2}(x-1) & & x < 1\\
e^{-x/2}(x-1) & & x\ge 1
\end{array}\right.$$
e studia la derivata sui rispettivi intervalli (nota che la derivata su $(-\infty,-1)$ ha segno opposto a quella su $[1,+\infty)$)
Sono riuscito a calcolare la derivata senza spezzare la funzione... essa sarebbe:
$ f'(x)=(e^(-2/x)(x-1)(x^2+2x-2))/(x^2|x-1| $
Risulta qundi essere maggiore di 0 negi intervalli
$ (-oo,-1-sqrt3),(-1-sqrt3,-1+sqrt3),(-1+sqrt3,1),(1,+oo) $
quindi deduco che
punti di minimo sono
$ (1,0),(-1-sqrt3,f(-1-sqrt3)) $
unico punto di massimo locale
$ (-1+sqrt3,f(-1+sqrt3)) $
Se provo a disegnare il grafico della funzione, è questo punto di massimo locale che mi dà fastidio...
Poi mi chiarite cosa sono i punti a tangente orizzontale? Da quello che ho capito è probabile che ce ne siano in questa funzione...
Lo studio della derivata seconda è necessario o le informazioni sono sufficienti?
$ f'(x)=(e^(-2/x)(x-1)(x^2+2x-2))/(x^2|x-1| $
Risulta qundi essere maggiore di 0 negi intervalli
$ (-oo,-1-sqrt3),(-1-sqrt3,-1+sqrt3),(-1+sqrt3,1),(1,+oo) $
quindi deduco che
punti di minimo sono
$ (1,0),(-1-sqrt3,f(-1-sqrt3)) $
unico punto di massimo locale
$ (-1+sqrt3,f(-1+sqrt3)) $
Se provo a disegnare il grafico della funzione, è questo punto di massimo locale che mi dà fastidio...
Poi mi chiarite cosa sono i punti a tangente orizzontale? Da quello che ho capito è probabile che ce ne siano in questa funzione...
Lo studio della derivata seconda è necessario o le informazioni sono sufficienti?
"Michele Di Guida":
Sono riuscito a calcolare la derivata senza spezzare la funzione... essa sarebbe:
$ f'(x)=(e^(-2/x)(x-1)(x^2+2x-2))/(x^2|x-1| $
Risulta qundi essere maggiore di 0 negi intervalli
$ (-oo,-1-sqrt3),(-1-sqrt3,-1+sqrt3),(-1+sqrt3,1),(1,+oo) $
In pratica stai affermando che $f(x)$ cresce in tutto $RR$ tranne in $-1 pm sqrt3$ (dove è costante) e $1$ (dove non è definita), ma non è così... controlla meglio la positività della derivata
EDIT:
"Michele Di Guida":
[...]$(-1-sqrt3,-1+sqrt3)$[...]
Attento, anche in $0$ la funzione non è definita
scusate ho sbagliato
la derivata prima risulta essere maggiore di 0 negli intervalli
$ (-1-sqrt3,0),(0,-1+sqrt3),(1,+oo) $
i punti di massimo e minimo sono sempre quelli che ho scritto nel post precedente
la derivata prima risulta essere maggiore di 0 negli intervalli
$ (-1-sqrt3,0),(0,-1+sqrt3),(1,+oo) $
i punti di massimo e minimo sono sempre quelli che ho scritto nel post precedente
Ragazzi che altro c'è da dire su questa funzione?
Potresti provare a determinare i punti di flesso se ce ne sono.
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