Studio di funzione completo
Ragazzi mi serve una mano in questo studio di funzione
$ arctan((x - 2)/(|x| - 2) ) $
1) Dire se f è limitata
2) Determinare eventuali asintoti di f
3) Stabilire se f è prolungabile con continuità
4) Studiare la monotonia di f
Vi scrivo le mie considerazioni e mi dite se per voi è giusto o meno
L'insieme di definizione salvo errori dovrebbe essere $R - {-2, +2}$
1) Penso si riferisca al codominio quindi la funzione è illimitata
2) Per quanto riguarda gli asintoti ho calcolato i seguenti limiti
$ lim_(x -> -oo) f(x)= arctan(-1 ) $
$ lim_(x -> +oo)f(x)= arctan(1 ) $
$ lim_(x -> -2-) f(x) = - pi/2 $
$ lim_(x -> -2+) f(x) = pi/2 $
$ lim_(x -> 2-) f(x) = arctan(1 ) $
$ lim_(x -> 2+) f(x) = arctan(1 ) $
3) La funzione è prolungabile in x= 2
4) Per la monotonia mi servirebbe una mano perché non so come trattare il valore assoluto...
Potreste dirmi anche se ciò che ho fatto finora è giusto...
Grazie
$ arctan((x - 2)/(|x| - 2) ) $
1) Dire se f è limitata
2) Determinare eventuali asintoti di f
3) Stabilire se f è prolungabile con continuità
4) Studiare la monotonia di f
Vi scrivo le mie considerazioni e mi dite se per voi è giusto o meno
L'insieme di definizione salvo errori dovrebbe essere $R - {-2, +2}$
1) Penso si riferisca al codominio quindi la funzione è illimitata
2) Per quanto riguarda gli asintoti ho calcolato i seguenti limiti
$ lim_(x -> -oo) f(x)= arctan(-1 ) $
$ lim_(x -> +oo)f(x)= arctan(1 ) $
$ lim_(x -> -2-) f(x) = - pi/2 $
$ lim_(x -> -2+) f(x) = pi/2 $
$ lim_(x -> 2-) f(x) = arctan(1 ) $
$ lim_(x -> 2+) f(x) = arctan(1 ) $
3) La funzione è prolungabile in x= 2
4) Per la monotonia mi servirebbe una mano perché non so come trattare il valore assoluto...
Potreste dirmi anche se ciò che ho fatto finora è giusto...
Grazie
Risposte
Non c'è bisogno di fare la derivata: se la funzione non è definita in quel punto, non lo sarà nemmeno la sua derivata. Non capisco dov'è il problema.
In ogni caso, facendo la derivata ti viene [tex]$D \bigg(\frac{x-2}{x-2} \bigg)=\frac{0}{(x-2)^2} \stackrel{(x-2)^2 \neq 0}{=} 0$[/tex].
In ogni caso, facendo la derivata ti viene [tex]$D \bigg(\frac{x-2}{x-2} \bigg)=\frac{0}{(x-2)^2} \stackrel{(x-2)^2 \neq 0}{=} 0$[/tex].
"Antimius":
[tex]$\frac{0}{(x-2)^2} \stackrel{(x-2)^2 \neq 0}{=} 0$[/tex].
Non mi risulta per niente, secondo me è zero sempre.
Senti, non so più come dirtelo: non si può dividere per $0$. Punto.
Sono d'accordo che $lim_(x->2) g(x)=1$, ma non esiste $g(2)$. ($g(x)=(x-2)/(x-2)$).
Infatti il dominio della funzione è $RR-{2}$
Se tu affermi che $EE g(2)$ e vale $1$, allora stai affemando che $0/0=1$. E' grave che non hai ancora capito la faccenda.
Poi vai a scomodare la derivata di $g(x)$... A cosa serve?
Sono d'accordo che $lim_(x->2) g(x)=1$, ma non esiste $g(2)$. ($g(x)=(x-2)/(x-2)$).
Infatti il dominio della funzione è $RR-{2}$
Se tu affermi che $EE g(2)$ e vale $1$, allora stai affemando che $0/0=1$. E' grave che non hai ancora capito la faccenda.
Poi vai a scomodare la derivata di $g(x)$... A cosa serve?
"Alxxx28":
[quote="Antimius"][tex]$\frac{0}{(x-2)^2} \stackrel{(x-2)^2 \neq 0}{=} 0$[/tex].
Non mi risulta per niente, secondo me è zero sempre.[/quote]
Quando $(x-2)^2 = 0$ quella derivata ti viene $0/0$ Non può essere $0$, non è definita. E ripeto: non c'è nemmeno bisogno di fare tutto questo, perché è proprio la funzione a non essere definita.
Una disfida analoga a questa si è disputata tempo fa tra Luca Lussardi e Gugo. Fu una lotta ai ferri corti e senza esclusione di colpi. Il motivo è che, pur trattandosi di una questione tutto sommato banale, non è evidente quale sia il migliore approccio didattico alla cosa. Formalizzando e riducendo il problema all'osso, la domanda è:
Sia data l'espressione $frac{x-x_0}{x-x_0}$. Qual è il relativo dominio massimale di definizione?
La risposta non c'è perché purtroppo dipende da una intrinseca cattiva positura della domanda. E' proprio la richiesta di "trovare il dominio massimale di definizione" a non essere proprio ineccepibile dal punto di vista formale, come tentavo di illustrare qui:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#499013
Sia data l'espressione $frac{x-x_0}{x-x_0}$. Qual è il relativo dominio massimale di definizione?
La risposta non c'è perché purtroppo dipende da una intrinseca cattiva positura della domanda. E' proprio la richiesta di "trovare il dominio massimale di definizione" a non essere proprio ineccepibile dal punto di vista formale, come tentavo di illustrare qui:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#499013
ragazzi allora in $x=2$ c'è una discontinuità di prima specie cioè un salto infatti: $lim_(x -> 2^-) (g(x))=-1$ e $lim_(x -> 2^+) (g(x))=1$ quindi lascio a voi le conclusioni!! Più precisamente:
$lim_(x -> -2^+) g(x)=-1$
$lim_(x -> 2^-) g(x)=1$
considerando l'intervallo $[-2;2]$!!!
$lim_(x -> -2^+) g(x)=-1$
$lim_(x -> 2^-) g(x)=1$
considerando l'intervallo $[-2;2]$!!!
"dissonance":
Una disfida analoga a questa si è disputata tempo fa tra Luca Lussardi e Gugo. Fu una lotta ai ferri corti e senza esclusione di colpi. Il motivo è che, pur trattandosi di una questione tutto sommato banale, non è evidente quale sia il migliore approccio didattico alla cosa. Formalizzando e riducendo il problema all'osso, la domanda è:
Sia data l'espressione $frac{x-x_0}{x-x_0}$. Qual è il relativo dominio massimale di definizione?
La risposta non c'è perché purtroppo dipende da una intrinseca cattiva positura della domanda. E' proprio la richiesta di "trovare il dominio massimale di definizione" a non essere proprio ineccepibile dal punto di vista formale, come tentavo di illustrare qui:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#499013
Se la ritrovi, me la linki?
In ogni caso, secondo la mia modesta opinione, è [tex]$\mathbb{R} - \{x_0\}$[/tex], perché l'espressione [tex]$\frac{x-x_0}{x-x_0}=1 \Leftrightarrow x \neq x_0$[/tex]; quindi, nonostante operiamo una manipolazione sull'espressione analitica della funzione, la nostra funzione non è [tex]$1$[/tex] ma è [tex]$\frac{x-x_0}{x-x_0}$[/tex] cioè - sì - [tex]$1$[/tex] ma solo per [tex]$x \neq x_0$[/tex] cioè quando il passaggio algebrico è lecito.
Però, certo, concordo con te che la questione non è ben posta; anche perché io sto praticamente identificando la funzione con la sua espressione analitica, che non è corretto. Ma se ho solo quella
Comunque, [tex]$D \bigg(\frac{x-x_0}{x-x_0}\bigg)=\frac{x-x_0-x+x_0}{(x-x_0)^2}=\frac{0}{(x-x_0)^2}=0$[/tex]. Ma l'ultimo passaggio è lecito solo se il denominatore è non nullo.
@Antimius: E io sono d'accordo con te. Anche didatticamente io userei questa impostazione, così che l'espressione $(x-x_0)/(x-x_0)$ definisce una funzione con questo grafico:
[asvg]ymin=0; ymax=1.5; axes(); line([-6, 1], [0.8, 1]); line([1.2, 1], [6, 1]); circle([1, 1], 0.2);text([1, 0], "x0", belowright); stroke="lightgray"; line([1, 0], [1,1]);[/asvg](il pallino bianco indica un punto in cui la funzione non è definita). Ma comunque non mi scandalizzo se qualcuno dice che $(x-x_0)/(x-x_0)$ è una maniera più arzigogolata di dire $1$, specialmente se questo qualcuno non è alle prime armi.
[asvg]ymin=0; ymax=1.5; axes(); line([-6, 1], [0.8, 1]); line([1.2, 1], [6, 1]); circle([1, 1], 0.2);text([1, 0], "x0", belowright); stroke="lightgray"; line([1, 0], [1,1]);[/asvg](il pallino bianco indica un punto in cui la funzione non è definita). Ma comunque non mi scandalizzo se qualcuno dice che $(x-x_0)/(x-x_0)$ è una maniera più arzigogolata di dire $1$, specialmente se questo qualcuno non è alle prime armi.
No, vabbè, neanche io mi scandalizzo; mi risulta soltanto un po' scomodo pensare che [tex]$\frac{x-x_0}{x-x_0}$[/tex] equivale a [tex]$1$[/tex] anche per [tex]$x=x_0$[/tex].
Ps.: Chi aveva il parere opposto al nostro? Gugo o Luca?
Ps.: Chi aveva il parere opposto al nostro? Gugo o Luca?
Io ho trovato questa (soprattutto nelle ultime pagine): https://www.matematicamente.it/forum/pro ... 10595.html
Ma la discussione è tra Luca Lussardi e Fioravante Patrone, e mi sembra siano anche abbastanza d'accordo.
Ma la discussione è tra Luca Lussardi e Fioravante Patrone, e mi sembra siano anche abbastanza d'accordo.
Cioè, praticamente quel topic era diventato una discussione fra moderatori, tra cui alcuni che nemmeno conoscevo.
Sarebbe interessante anche leggere quella fra Gugo e Luca; ho provato un po' ma non sono riuscito a trovarla.
Scusate se aggiungo questo: la mia era una curiosità soltanto di tipo intellettuale, nel senso che mi incuriosiva leggere i pareri di due matematici esperti che dibattevano su un argomento apparentemente banale, eppure così sottile.
Sarebbe interessante anche leggere quella fra Gugo e Luca; ho provato un po' ma non sono riuscito a trovarla.
Scusate se aggiungo questo: la mia era una curiosità soltanto di tipo intellettuale, nel senso che mi incuriosiva leggere i pareri di due matematici esperti che dibattevano su un argomento apparentemente banale, eppure così sottile.
"Gi8":
Se tu affermi che $EE g(2)$ e vale $1$, allora stai affemando che $0/0=1$. E' grave che non hai ancora capito la faccenda.
Questo non lo direi mai, tranquillo
Mi sa tanto che sto facendo confusione coi limiti comunque.
"Alxxx28":Questo non lo direi mai, tranquillo
[quote="Gi8"]Se tu affermi che $EE g(2)$ e vale $1$, allora stai affemando che $0/0=1$. E' grave che non hai ancora capito la faccenda.
[/quote]Ti faccio notare che l'hai detto. Qualche pagina fa:"Alxxx28":
[tex]\frac{x-2}{x-2}[/tex] è uguale a 1 [tex]\forall x \in \mathbb{R}[/tex]
"Gi8":[/quote]
Ti faccio notare che l'hai detto. Qualche pagina fa:
[quote="Alxxx28"][tex]\frac{x-2}{x-2}[/tex] è uguale a 1 [tex]\forall x \in \mathbb{R}[/tex]
Intendevo nel senso della semplificazione, senza considerare la sostituzione della variabile [tex]x[/tex]
Beh, invece la sostituzione va considerata.
Se per assurdo $AA x in RR$ $(x-2)/(x-2)=1$,
allora comunque scegliamo $x in RR$ il rapporto $(x-2)/(x-2)$ è uguale a $1$.
Dunque, ad esempio,
scegliamo $x=5 => (5-2)/(5-2)=3/3=1$ (ed è vero)
scegliamo $x=0 => (0-2)/(0-2)=(-2)/(-2)=1$ (ed è vero)
scegliamo $x=100 => (100-2)/(100-2)=98/98=1$ (ed è vero)
scegliamo $x=2 => (2-2)/(2-2)=0/0=1$ (ed è falso) $=>$ assurdo.
Quindi non è vero che $AA x in RR$ $(x-2)/(x-2)=1$. Ok?
Piuttosto è vero che $AA x in RR-{2}$ $(x-2)/(x-2)=1$.
Spero di averti convinto
Se per assurdo $AA x in RR$ $(x-2)/(x-2)=1$,
allora comunque scegliamo $x in RR$ il rapporto $(x-2)/(x-2)$ è uguale a $1$.
Dunque, ad esempio,
scegliamo $x=5 => (5-2)/(5-2)=3/3=1$ (ed è vero)
scegliamo $x=0 => (0-2)/(0-2)=(-2)/(-2)=1$ (ed è vero)
scegliamo $x=100 => (100-2)/(100-2)=98/98=1$ (ed è vero)
scegliamo $x=2 => (2-2)/(2-2)=0/0=1$ (ed è falso) $=>$ assurdo.
Quindi non è vero che $AA x in RR$ $(x-2)/(x-2)=1$. Ok?
Piuttosto è vero che $AA x in RR-{2}$ $(x-2)/(x-2)=1$.
Spero di averti convinto
Si si, mi ero reso conto che sbagliavo già da alcuni post
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo