Studio di funzione completo
Ragazzi mi serve una mano in questo studio di funzione
$ arctan((x - 2)/(|x| - 2) ) $
1) Dire se f è limitata
2) Determinare eventuali asintoti di f
3) Stabilire se f è prolungabile con continuità
4) Studiare la monotonia di f
Vi scrivo le mie considerazioni e mi dite se per voi è giusto o meno
L'insieme di definizione salvo errori dovrebbe essere $R - {-2, +2}$
1) Penso si riferisca al codominio quindi la funzione è illimitata
2) Per quanto riguarda gli asintoti ho calcolato i seguenti limiti
$ lim_(x -> -oo) f(x)= arctan(-1 ) $
$ lim_(x -> +oo)f(x)= arctan(1 ) $
$ lim_(x -> -2-) f(x) = - pi/2 $
$ lim_(x -> -2+) f(x) = pi/2 $
$ lim_(x -> 2-) f(x) = arctan(1 ) $
$ lim_(x -> 2+) f(x) = arctan(1 ) $
3) La funzione è prolungabile in x= 2
4) Per la monotonia mi servirebbe una mano perché non so come trattare il valore assoluto...
Potreste dirmi anche se ciò che ho fatto finora è giusto...
Grazie
$ arctan((x - 2)/(|x| - 2) ) $
1) Dire se f è limitata
2) Determinare eventuali asintoti di f
3) Stabilire se f è prolungabile con continuità
4) Studiare la monotonia di f
Vi scrivo le mie considerazioni e mi dite se per voi è giusto o meno
L'insieme di definizione salvo errori dovrebbe essere $R - {-2, +2}$
1) Penso si riferisca al codominio quindi la funzione è illimitata
2) Per quanto riguarda gli asintoti ho calcolato i seguenti limiti
$ lim_(x -> -oo) f(x)= arctan(-1 ) $
$ lim_(x -> +oo)f(x)= arctan(1 ) $
$ lim_(x -> -2-) f(x) = - pi/2 $
$ lim_(x -> -2+) f(x) = pi/2 $
$ lim_(x -> 2-) f(x) = arctan(1 ) $
$ lim_(x -> 2+) f(x) = arctan(1 ) $
3) La funzione è prolungabile in x= 2
4) Per la monotonia mi servirebbe una mano perché non so come trattare il valore assoluto...
Potreste dirmi anche se ciò che ho fatto finora è giusto...
Grazie
Risposte
"No_Rules":
L'insieme di definizione salvo errori dovrebbe essere $R - {-2, +2}$
1) Penso si riferisca al codominio quindi la funzione è illimitata
Sapresti motivare queste due cose che hai detto?
Inizia a distinguere questi due casi:
- [tex]x \geq 0[/tex]
- [tex]x < 0[/tex]
e rifletti su come si può scrivere la funzione
Penso sia:
per $x >= 0$ ................ $arctan(1) $
e per $x < 0$ ................. $arctan((x - 2)/(-x - 2)) $
Da questo mi verrebbe da dire che siccome l'arcotangente è definita su tutto R l'unico valore in cui non esisterebbe la funzione è x=-2
Sul quesito che chiede se la funzione è limitata non riesco a spiegarmi il perché me lo chiede come prima cosa, se la risposta si riferisce al codominio e per poter rispondere io dovrei aver già studiato la monotonia della funzione, ma probabilmente mi sbaglio.
per $x >= 0$ ................ $arctan(1) $
e per $x < 0$ ................. $arctan((x - 2)/(-x - 2)) $
Da questo mi verrebbe da dire che siccome l'arcotangente è definita su tutto R l'unico valore in cui non esisterebbe la funzione è x=-2
Sul quesito che chiede se la funzione è limitata non riesco a spiegarmi il perché me lo chiede come prima cosa, se la risposta si riferisce al codominio e per poter rispondere io dovrei aver già studiato la monotonia della funzione, ma probabilmente mi sbaglio.
"No_Rules":
per $x >= 0$ ................ $arctan(1) $
e per $x < 0$ ................. $arctan((x - 2)/(-x - 2)) $
Da questo mi verrebbe da dire che siccome l'arcotangente è definita su tutto R l'unico valore in cui non esisterebbe la funzione è $x=-2$
Attento. per $x>=0$ la funzione non è $arctg(1)$, ma piuttosto $arctg((x-2)/(x-2))$ . Quindi ...
"Gi8":
[quote="No_Rules"]per $x >= 0$ ................ $arctan(1) $
e per $x < 0$ ................. $arctan((x - 2)/(-x - 2)) $
Da questo mi verrebbe da dire che siccome l'arcotangente è definita su tutto R l'unico valore in cui non esisterebbe la funzione è $x=-2$
Attento. per $x>=0$ la funzione non è $arctg(1)$, ma piuttosto $arctg((x-2)/(x-2))$ . Quindi ...[/quote]
No scusa questo nn riesco a capirlo, perché $(x - 2)/(x - 2)$ non si può semplificare?
"No_Rules":
Da questo mi verrebbe da dire che siccome l'arcotangente è definita su tutto R l'unico valore in cui non esisterebbe la funzione è x=-2
E invece è definita anche in quel punto.
Basta ricordare quanto vale questo limite [tex]$ \lim_{x \to -\infty} arctg(x) $[/tex]
"No_Rules":
Sul quesito che chiede se la funzione è limitata non riesco a spiegarmi il perché me lo chiede come prima cosa, se la risposta si riferisce al codominio e per poter rispondere io dovrei aver già studiato la monotonia della funzione, ma probabilmente mi sbaglio.
Non c' è bisogno di determinare il codominio. Se non esistono asintoti verticali allora è limitata.
Può essere illimitata questa funzione secondo te?
quel limite vale $-pi/2$ ma il resto del ragionamento sull'insieme di definizione nn riesco a capirlo...
Io ho diviso la funzione nelle due possibilità date dal valore assoluto.
Nel primo caso mi è stato detto che ho sbagliato a considerare $arctg(1)$ quando $x >= 0 $ nel secondo caso ho posto la condizione di esistenza della frazione che era argomento dell'arcotangente e nn capisco perché ora viene fuori che la funzione è definita anche in quel punto... A questo punto mi sembra di capire che si a definita su tutto R, ma nn capisco il motivo. Se così fosse di conseguenza non è illimitata.
Io ho diviso la funzione nelle due possibilità date dal valore assoluto.
Nel primo caso mi è stato detto che ho sbagliato a considerare $arctg(1)$ quando $x >= 0 $ nel secondo caso ho posto la condizione di esistenza della frazione che era argomento dell'arcotangente e nn capisco perché ora viene fuori che la funzione è definita anche in quel punto... A questo punto mi sembra di capire che si a definita su tutto R, ma nn capisco il motivo. Se così fosse di conseguenza non è illimitata.
"No_Rules":Si può semplificare a patto che poni le condiizoni di esistenza: $x!=2$
No scusa questo nn riesco a capirlo, perché $(x - 2)/(x - 2)$ non si può semplificare?
Quindi per $x>=0$ la funzione vale $arctg(1)=pi/4$ tranne che in $x=2$ dove la funzione non è definita.
Tu invece avevi scritto che la funzione vlae $arctg(1)$ in tutti gli $x>=0$. Ok?
"Alxxx28":
[quote="No_Rules"]Da questo mi verrebbe da dire che siccome l'arcotangente è definita su tutto $RR$ l'unico valore in cui non esisterebbe la funzione è $x=-2$
E invece è definita anche in quel punto.
Basta ricordare quanto vale questo limite [tex]$ \lim_{x \to -\infty} arctg(x) $[/tex][/quote]@Alxxx28: No, in $x=-2$ la funzione $f(x)=arctg( (x-2)/(|x|-2) )$ non è definita. E nemmeno in $x=2$.
Semplicemente perchè non si può avere un denominatore nullo.
Il dominio è $RR-{-2,2}$
"Gi8":
Semplicemente perchè non si può avere un denominatore nullo.
In questo caso stiamo considerando l' argomento di [tex]arctg[/tex].
Se non ti fidi aspetta il parere di qualcuno più esperto
ragazzi il mio ragionamento è questo: la funzione $arctg$ è una funzione denita su tutto il campo dei numeri reali $RR$. La funzione $arctg(f(x))$ è definita su tutto $RR$ a patto che la $f(x)$ non abbia valori per cui essa non è definita e quindi in tal caso bisognerebbe restringere il campo d'esistenza dell'arcotangente a quello della funzione siccome sappiamo che una funzione complessa è definita nei punti in cui vale il sistame ossia nei punti in cui valgono entrambe le funzioni. Dunque secondo me la risposta è $RR -{-2;2}$
Vi ringrazio tutti per la collaborazione, cmq la cosa con cui mi sembra di ritrovarmi è che l'I.D. è R - {-2, 2}
La cosa però che avevo sbagliato a non considerare è che la funzione andava sdoppiata come mi è stato suggerito all'inizio...
Volevo chiedervi un ultima cosa, siccome domani ho l'esonero di analisi 1, qualcuno può suggerirmi come calcolare a mano senza l'uso di tabelle, ecc gli angoli corrispondenti ai coseni seni e tangenti che mi capitano?? Ad esempio, qui avevo $arctg (1) = pi/4$ come si fa ad arrivare a questo risultato, o magari potreste linkarmi qualche pagina in cui è spiegato...
Grazie davvero
La cosa però che avevo sbagliato a non considerare è che la funzione andava sdoppiata come mi è stato suggerito all'inizio...
Volevo chiedervi un ultima cosa, siccome domani ho l'esonero di analisi 1, qualcuno può suggerirmi come calcolare a mano senza l'uso di tabelle, ecc gli angoli corrispondenti ai coseni seni e tangenti che mi capitano?? Ad esempio, qui avevo $arctg (1) = pi/4$ come si fa ad arrivare a questo risultato, o magari potreste linkarmi qualche pagina in cui è spiegato...
Grazie davvero
Beh, trovare quanto vale $arctg(1)$ equivale a chiedersi qual è l'arco che ha come tangente $1$, ovvero trovare $x in (-pi/2,pi/2)$ tale che $tg(x)=1$
@Alxxx28: se sei così sicuro che $x=-2$ la funzione è definita, mi dici quanto fa $f(-2)$?
con $f(x)=arctg( (x-2)/(|x|-2) )$, naturalmente
@Alxxx28: se sei così sicuro che $x=-2$ la funzione è definita, mi dici quanto fa $f(-2)$?
con $f(x)=arctg( (x-2)/(|x|-2) )$, naturalmente
"Gi8":
@Alxxx28: se sei così sicuro che $x=-2$ la funzione è definita, mi dici quanto fa $f(-2)$?
con $f(x)=arctg( (x-2)/(|x|-2) )$, naturalmente
Pensandoci meglio in effetti non è definita in [tex]x=-2[/tex], mi scuso con tutti
Però secondo me [tex]x=2[/tex] fa parte del dominio di [tex]f[/tex], perchè il rapporto
[tex]\frac{x-2}{x-2}[/tex] è uguale a 1 [tex]\forall x \in \mathbb{R}[/tex]
Non ho letto tutto il topic, quindi mi riferisco solo all'ultimo post, ma [tex]$f(x)= \arctan{\frac{x-2}{|x|-2}}$[/tex] è definita per [tex]$|x| \neq 2$[/tex], cioè per [tex]$x \neq \pm 2$[/tex]. Non capisco che intendi fare, quando eguagli quel rapporto a 1. Quella divisione la puoi fare proprio se il denominatore non è nullo, ma per [tex]$x=2$[/tex] lo è.
@ Antimius:
prova a calcolare [tex]$ \frac{d}{dx} ( \frac{x-2}{x-2} ) $[/tex]
prova a calcolare [tex]$ \frac{d}{dx} ( \frac{x-2}{x-2} ) $[/tex]
Ho notato che hai ancora dei dubbi.
Non riesci a metterti in testa che un denominatore non può essere nullo?
$(x-2)/(x-2)=1$ $ AA x in RR-{2}$. Infatti, se $x=2$ abbiamo $(2-2)/(2-2)=0/0$ che non si può fare, perchè non si può dividere per $0$. Ok?
"Alxxx28":Perchè prima dici (giustamente) che $f(x)$ non è definita in $x=-2$ e poi dici che $x=2$ è un punto del dominio?
Pensandoci meglio in effetti non è definita in [tex]x=-2[/tex], mi scuso con tutti
Però secondo me [tex]x=2[/tex] fa parte del dominio di [tex]f[/tex], perchè il rapporto [tex]\frac{x-2}{x-2}[/tex] è uguale a 1 [tex]\forall x \in \mathbb{R}[/tex]
Non riesci a metterti in testa che un denominatore non può essere nullo?
$(x-2)/(x-2)=1$ $ AA x in RR-{2}$. Infatti, se $x=2$ abbiamo $(2-2)/(2-2)=0/0$ che non si può fare, perchè non si può dividere per $0$. Ok?
"Alxxx28":E cosa c'entra la derivata?
prova a calcolare [tex]$ \frac{d}{dx} ( \frac{x-2}{x-2} ) $[/tex]
"Gi8":
Non riesci a metterti in testa che un denominatore non può essere nullo?
Sinceramente prima non avevo dubbi, ma nonostante sia una questione banale mi state facendo venire il dubbio
So che in generale il denominatore non può annullarsi, ma in questo caso è uguale al numeratore e si effettua la semplificazione.
"Gi8":
E cosa c'entra la derivata?
Dato che la derivata è zero si capisce che la funzione è derivabile [tex]\forall x \in \mathbb{R}[/tex].
Se in [tex]x=2[/tex] non fosse definita, il limite del rapporto incrementale non potrebbe essere finito, o sbaglio?
"Alxxx28":La semplificazione tra numeratore e denominatore si può effettuare solo se il denominatore è diverso da zero. Dovresti saperlo.
So che in generale il denominatore non può annullarsi, ma in questo caso è uguale al numeratore e si effettua la semplificazione.
Lo si spiega fin dalle medie, se non erro.
"Alxxx28":La funzione $g(x)=(x-2)/(x-2)$ è continua in $RR-{2}$. In $x=2$ non è continua, e dunque non è derivabile.
Dato che la derivata è zero si capisce che la funzione è derivabile [tex]\forall x \in \mathbb{R}[/tex].
Se in [tex]x=2[/tex] non fosse definita, il limite del rapporto incrementale non potrebbe essere finito, o sbaglio?
Poi sono d'accordo con te che la derivata è $0$, ma non su tutto $RR$, bensì su $RR-{2}$
Infine, una cosa è $lim_(x->2) g(x)$, una cosa è $g(2)$.
"Alxxx28":
Dato che la derivata è zero si capisce che la funzione è derivabile [tex]\forall x \in \mathbb{R}[/tex].
Se in [tex]x=2[/tex] non fosse definita, il limite del rapporto incrementale non potrebbe essere finito, o sbaglio?
Ma infatti, il limite del rapporto incrementale non esiste finito. Questo perché non esiste proprio il rapporto incrementale in quel punto, conseguenza a sua volta del fatto che la funzione non è definita in [tex]$x=2$[/tex].
Per vederlo basta che calcoli [tex]$f(2)$[/tex] e vedi che ti esce fuori. In ogni caso, [tex]$\frac{x-2}{x-2}=1 \, \Leftrightarrow \, x \neq 2$[/tex].
"Gi8":
Poi sono d'accordo con te che la derivata è $0$, ma non su tutto $RR$, bensì su $RR-{2}$
Come puoi dedurre questo guardando la derivata?
Prendiamo ad esempio questa funzione [tex]u(x)= \frac {x-2}{x}[/tex], definita in [tex]\mathbb{R}-\{ 0 \}[/tex]
La sua derivata risulta: [tex]\frac {x-(x-2)}{x^2}=\frac {2}{x^2}[/tex]
Ecco, in questo caso il "problema" in [tex]x=0[/tex] compare anche nella derivata [tex]u'(x)[/tex]
Nella funzione di cui stavamo discutendo prima invece, non accade la stessa cosa.
"Gi8":
Infine, una cosa è $lim_(x->2) g(x)$, una cosa è $g(2)$.
Su questo si, concordo.
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