Studio di funzione complessa
Devo studiare iniettività, suriettività, inversa destra e sinitra, controimmagine della funzione $f(z)=z^2+i$.
Per quanto riguarda l'iniettività ho ragionato così:
$f(z)=f(w)rArrz^2+i=w^2+irArrz^2=w^2$ ma questo non implica che $z=w$ quindi la funzione non è iniettiva. (confermate?)
Per la suriettività invece:
$w=(z-i)^(1/2)$ è definita per ogni $z\inCC$ quindi la funzione è suriettiva (confermate?).
Per quanto riguardale funzioni inverse (destra e sinistra) come posso comportarmi?
Per quanto riguarda l'iniettività ho ragionato così:
$f(z)=f(w)rArrz^2+i=w^2+irArrz^2=w^2$ ma questo non implica che $z=w$ quindi la funzione non è iniettiva. (confermate?)
Per la suriettività invece:
$w=(z-i)^(1/2)$ è definita per ogni $z\inCC$ quindi la funzione è suriettiva (confermate?).
Per quanto riguardale funzioni inverse (destra e sinistra) come posso comportarmi?
Risposte
Quello che hai fatto mi sembra ok.
Ora puoi scrivere:
$ z-i=|z-i|*e^(i*arg z) $
Dunque:
$ f_+^-1 (z) = +|z-i|^(1/2) e^(i/2 *arg z) $
$ f_-^-1 (z) = -|z-i|^(1/2) e^(i/2 *arg z) $
Ora puoi scrivere:
$ z-i=|z-i|*e^(i*arg z) $
Dunque:
$ f_+^-1 (z) = +|z-i|^(1/2) e^(i/2 *arg z) $
$ f_-^-1 (z) = -|z-i|^(1/2) e^(i/2 *arg z) $
Ti ho seguito fino alla rappresentazione esponenziale del mio numero ma poi non ho capito come hai fatto a ricavare le due inverse...
"thedarkhero":
$z^2=w^2$ ma questo non implica che $z=w$
Beh, visto che $z^2-w^2=(z-w)(z+w)$ direi proprio di no.
Ma questo è un fatto che avresti potuto vedere anche direttamente: infatti se prendi $z=x$ ($z$ reale) hai $f(x)=f(-x)$, quindi $f$ non è iniettiva perchè ha una restrizione (quella all'asse reale) che non è iniettiva.
Le due inverse che ha determinato robbstark sono semplicemente le due determinazioni della radice complessa $\sqrt(z-"i")$.
La funzione da cui partiamo è:
$ f(z)=z^2 +i=w $
Cioè dato un valore di $z$ si ricava un certo valore $w$.
Trovare l'inversa significa trovare una funzione che dato $w$ ricavi $z$.
Quindi si deve invertire l'uguaglianza:
$ z^2 +i=w $
$ z^2 = w-i $
$ z= (w-i)^(1/2) $
$ f^(-1) (w) = (w-i)^(1/2) $
(Poi alla fine la variabile la puoi richiamare $z$ o $w$, non cambia nulla)
Il problema è che se la funzione non è iniettiva, non è invertibile. Si può invertire solo a tratti.
In questo caso ce ne accorgiamo perchè esistono 2 radici di un numero complesso, che sono una l'opposta dell'altra. Posso quindi definire 2 inverse (parziali), una che dà la radice "positiva", l'altra che dà la radice "negativa".
Spero di essere stato più chiaro.
$ f(z)=z^2 +i=w $
Cioè dato un valore di $z$ si ricava un certo valore $w$.
Trovare l'inversa significa trovare una funzione che dato $w$ ricavi $z$.
Quindi si deve invertire l'uguaglianza:
$ z^2 +i=w $
$ z^2 = w-i $
$ z= (w-i)^(1/2) $
$ f^(-1) (w) = (w-i)^(1/2) $
(Poi alla fine la variabile la puoi richiamare $z$ o $w$, non cambia nulla)
Il problema è che se la funzione non è iniettiva, non è invertibile. Si può invertire solo a tratti.
In questo caso ce ne accorgiamo perchè esistono 2 radici di un numero complesso, che sono una l'opposta dell'altra. Posso quindi definire 2 inverse (parziali), una che dà la radice "positiva", l'altra che dà la radice "negativa".
Spero di essere stato più chiaro.
Certo ma infatti non essendo iniettiva non possiede inversa sinistra ma essendo suriettiva dovrebbe possedere inversa a destra no? quello che mi chiedevo è come ottenerla.
La suriettività non ha niente a che vedere con l'invertibilità di una funzione. Ad esempio, nei numeri reali, la funzione:
$ f(x) = 1/(x+1) $
è iniettiva, ma non suriettiva.
La funzione inversa è:
$ f^-1 (y) = 1/y -1 $
L'idea è che se hai una funzione, io ti dico un valore di $x$, tu sei capace di dirmi il corrispondente valore della funzione.
Ma se io ti dico il valore della funzione, tu sei capace di dirmi che $x$ ho usato? Se ci riesci, vuol dire che sai trovare la funzione inversa.
Sempre nei reali, se la funzione fosse:
$ y=x^2 $
E io dico che $y=4$, che valore di $x$ ho usato?
$x= +-y^(1/2)$
Allora hai un'inversa destra e una sinistra:
$ f_+^-1 (y) = y^(1/2) $
$ f_-^(-1) (y) = -y^(1/2) $
$ f(x) = 1/(x+1) $
è iniettiva, ma non suriettiva.
La funzione inversa è:
$ f^-1 (y) = 1/y -1 $
L'idea è che se hai una funzione, io ti dico un valore di $x$, tu sei capace di dirmi il corrispondente valore della funzione.
Ma se io ti dico il valore della funzione, tu sei capace di dirmi che $x$ ho usato? Se ci riesci, vuol dire che sai trovare la funzione inversa.
Sempre nei reali, se la funzione fosse:
$ y=x^2 $
E io dico che $y=4$, che valore di $x$ ho usato?
$x= +-y^(1/2)$
Allora hai un'inversa destra e una sinistra:
$ f_+^-1 (y) = y^(1/2) $
$ f_-^(-1) (y) = -y^(1/2) $
Io con il termine inversa destra (sinistra) ho sempre inteso tutt'altro.
Sia $f:X->Y$ e sia $g:Y->X$.
g si dice inversa sinistra se $g(f(x))=Id_x$.
g si dice inversa destra se $f(g(y))=Id_y$.
Io devo trovare l'inversa destra (visto che la sinistra non esiste) della funzione $f(z)=z^2+i$.
Sia $f:X->Y$ e sia $g:Y->X$.
g si dice inversa sinistra se $g(f(x))=Id_x$.
g si dice inversa destra se $f(g(y))=Id_y$.
Io devo trovare l'inversa destra (visto che la sinistra non esiste) della funzione $f(z)=z^2+i$.
Secondo questa terminologia entrambe le determinazioni di $\sqrt(w-"i")$ sono inverse sinistre (basta fare i conti)...
Beh ma se definiamo $g(z)=sqrt(z-i)$ non è ben posta, infatti associa a un singolo z valori diversi...
Ma questo è confermato dal fatto che una funzione ammette inversa sinistra se e solo se è iniettiva (questa funzione, non essendo iniettiva, non ammette inversa sinistra).
Tuttavia essendo suriettiva dovrebbe ammettere inversa destra...ma non mi sembra sia così. Dove sbaglio?
Ma questo è confermato dal fatto che una funzione ammette inversa sinistra se e solo se è iniettiva (questa funzione, non essendo iniettiva, non ammette inversa sinistra).
Tuttavia essendo suriettiva dovrebbe ammettere inversa destra...ma non mi sembra sia così. Dove sbaglio?
Il problema è la polidromia (che, detto tra noi, è una conseguenza naturale della periodicità dell'esponenziale complesso) della funzione radice.
La polidromia, ossia il fenomeno che si verifica quando una funzione ad un punto del dominio associa più elementi del codominio (possono essere finiti, come nel caso delle radici, od infiniti, come nel caso del logaritmo), è una cosa ben strana per chi ha in mente la definizione "algebrica" standard di funzione; infatti quando mi dici che "$g(z)=\sqrt(z-"i")$ non è ben posta" ti stai in effetti scontrando con quello che ti hanno insegnato al primo anno, ossia con le tue abitudini.
Nel campo complesso, la definizione standard la devi necessariamente accantonare perchè ti scontri naturalmente con fenomeni di questo tipo; anzi, questo cambiamento di prospettiva è un male necessario.
I modi per mantenere le "vecchie abitudini" sono essenzialmente due: o ti isoli una delle due determinazioni monodrome della radice (ciò equivale a "tagliare" il piano complesso con una curva semplice non limitata uscente da $"i"$, ossia ad escludere dall'insieme di definizione di $g$ una linea che renda impossibile girare intorno ad $"i"$*); o ti costruisci la superficie di Riemann di $g$, sulla quale $g$ è grossomodo una funzione nel senso standard del termine.
__________
* Se vai a fare un po' di conti, vedrai che i problemi nascono dal fatto che il tuo punto variabile $z$ può compiere delle orbite chiuse intorno ad $"i"$ (che è lo zero dell'argomento della radice): infatti se parti da $1+"i"$ e percorri un giro sulla circonferenza $z(t):="i"+"e"^("i"t)$ ritornando in $1+"i"$, ti accorgi che il valore di $g(1+"i")$ cambia da $1$ a $-1$ (o viceversa).
Quindi se ad ogni punto $z$ vuoi associare un unico valore di $g(z)$ devi necessariamente eliminare le possibilità di "girare intorno" ad $"i"$: ciò si fa come descritto nella frase tra parentesi.
La polidromia, ossia il fenomeno che si verifica quando una funzione ad un punto del dominio associa più elementi del codominio (possono essere finiti, come nel caso delle radici, od infiniti, come nel caso del logaritmo), è una cosa ben strana per chi ha in mente la definizione "algebrica" standard di funzione; infatti quando mi dici che "$g(z)=\sqrt(z-"i")$ non è ben posta" ti stai in effetti scontrando con quello che ti hanno insegnato al primo anno, ossia con le tue abitudini.
Nel campo complesso, la definizione standard la devi necessariamente accantonare perchè ti scontri naturalmente con fenomeni di questo tipo; anzi, questo cambiamento di prospettiva è un male necessario.
I modi per mantenere le "vecchie abitudini" sono essenzialmente due: o ti isoli una delle due determinazioni monodrome della radice (ciò equivale a "tagliare" il piano complesso con una curva semplice non limitata uscente da $"i"$, ossia ad escludere dall'insieme di definizione di $g$ una linea che renda impossibile girare intorno ad $"i"$*); o ti costruisci la superficie di Riemann di $g$, sulla quale $g$ è grossomodo una funzione nel senso standard del termine.
__________
* Se vai a fare un po' di conti, vedrai che i problemi nascono dal fatto che il tuo punto variabile $z$ può compiere delle orbite chiuse intorno ad $"i"$ (che è lo zero dell'argomento della radice): infatti se parti da $1+"i"$ e percorri un giro sulla circonferenza $z(t):="i"+"e"^("i"t)$ ritornando in $1+"i"$, ti accorgi che il valore di $g(1+"i")$ cambia da $1$ a $-1$ (o viceversa).
Quindi se ad ogni punto $z$ vuoi associare un unico valore di $g(z)$ devi necessariamente eliminare le possibilità di "girare intorno" ad $"i"$: ciò si fa come descritto nella frase tra parentesi.
Quindi potrei semplicemente dire che l'inversa destra e' $g(z)=sqrt(z-i)$ senza preoccuparmi che questa puo' assumere valori diversi per lo stesso z?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo